Cho Ax và By là hai tiếp tuyến của đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Qua điểm M thuộc đường tròn ( M khác A, B ) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt tia Ax , By theo thứ tự C và D
a/C/m tam giác COD vuông tại O
b/Clm AC.BD = \(R^2\)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB=2R . Kẻ hai tiếp tuyến Ax và By (Ax và By nằm cùng phía với nửa đường tròn). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn(M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D.
Chứng minh rằng
Chứng minh 4 điểm B,D,M,O nằm trên cùng một đường tròn, chỉ ra bán kính của đường tròn đó.
Chứng minh CD=AC+BD
Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD
Gọi giao điểm AD và BC là N. Chứng minh MN//AC
b: Xét (O) có
CM là tiếp tuyến
CA là tiếp tuyến
Do đó: CM=CA
Xét (O) có
DM là tiếp tuyến
DB là tiếp tuyến
Do đó: DM=DB
Ta có: CM+MD=CD
nên CD=AC+BD
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB=2R . Kẻ hai tiếp tuyến Ax và By (Ax và By nằm cùng phía với nửa đường tròn). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn(M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D.
Chứng minh rằng
a) chứng minh COD = 90 độ
b) Chứng minh 4 điểm B,D,M,O nằm trên cùng một đường tròn, chỉ ra bán kính của đường tròn đó.
c) Chứng minh CD=AC+BD
d) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD
e) chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD
f) Gọi giao điểm AD và BC là N. Chứng minh MN//AC
a: Xét (O) có
CM,CA là tiếp tuyến
Do đó: CM=CA và OC là phân giác của \(\widehat{AOM}\)
OC là phân giác của \(\widehat{AOM}\)
nên \(\widehat{AOM}=2\cdot\widehat{MOC}\)
Xét (O) có
DM,DB là tiếp tuyến
DO đó: DM=DB và OD là phân giác của \(\widehat{MOB}\)
Ta có: OD là phân giác của \(\widehat{MOB}\)
=>\(\widehat{MOB}=2\cdot\widehat{MOD}\)
Ta có: \(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}=180^0\)(hai góc kề bù)
=>\(2\cdot\left(\widehat{MOC}+\widehat{MOD}\right)=180^0\)
=>\(2\cdot\widehat{COD}=180^0\)
=>\(\widehat{COD}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)
b: Xét tứ giác BDMO có
\(\widehat{OMD}+\widehat{OBD}=90^0+90^0=180^0\)
=>BDMO là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính OD
=>B,D,M,O cùng nằm trên đường tròn đường kính OD
Bán kính là \(R'=\dfrac{OD}{2}\)
c: Ta có: CD=CM+MD
mà CM=CA
và DM=DB
nên CD=CA+DB
d,e: Gọi N là trung điểm của CD
Xét hình thang ABDC có
O,N lần lượt là trung điểm của AB,CD
=>ON là đường trung bình của hình thang ABDC
=>ON//AC//BD
Ta có: ON//AC
AC\(\perp\)AB
Do đó: ON\(\perp\)AB
Ta có: ΔCOD vuông tại O
=>ΔCDO nội tiếp đường tròn đường kính CD
=>ΔCOD nội tiếp (N)
Xét (N) có
NO là bán kính
AB\(\perp\)NO tại O
Do đó: AB là tiếp tuyến của (N)
hay AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD(ĐPCM)
f: Xét ΔNCA và ΔNBD có
\(\widehat{NCA}=\widehat{NBD}\)(hai góc so le trong, AC//BD)
\(\widehat{CNA}=\widehat{BND}\)(hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔNCA đồng dạng với ΔNBD
=>\(\dfrac{NC}{NB}=\dfrac{NA}{ND}=\dfrac{AC}{BD}=\dfrac{CM}{MD}\)
Xét ΔDCA có \(\dfrac{NA}{ND}=\dfrac{CM}{MD}\)
nên MN//AC
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB=2R. Kẻ 2 tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn (O) tại A và B. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn ( M khác A và B ) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt tia Ax, By theo thứ tự tại C và D.
a, Chứng minh tam giác COD vuông tại O
b, Chứng minh tích AC.BD không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn
a: Xét (O) có
CM là tiếp tuyến
CA là tiếp tuyến
Do đó: CM=CA và OC là tia phân giác của góc MOA(1)
Xét (O) có
DM là tiếp tuyến
DB là tiếp tuyến
Do đó: DM=DB và OD là tia phân giác của góc MOB(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{COD}=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot180^0=90^0\)
hay ΔCOD vuông tại O
b: Xét ΔCOD vuông tại O có OM là đường cao
nên \(MC\cdot MD=MO^2=R^2=AC\cdot BD\)
Bài 4. (2đ): Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Từ A và B lần lượt kẻ hai tiếp tuyến
Ax và By với nửa đường tròn. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B) kẻ tiếp
tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt tại C và D.
a. Chứng minh rằng :Tứ giác AOMC nội tiếp.
b. KhiBAM= 600. Chứng tỏ BDM là tam giác đều và tính diện tích của hình quạt tròn
chắn cung MB của nửa đường tròn đã cho theo R.
a: góc OAC+góc OMC=180 độ
=>OACM nội tiếp
b: góc BOM=2*60=120 độ
=>góc BDM=60 độ
=>ΔBMD đều
\(S_{qMB}=\dfrac{pi\cdot R^2\cdot120}{360}=\dfrac{1}{3}\cdot pi\cdot R^2\)
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A,B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D. Biết CD=a và BD= 3AC
a) CMR: OC và OD vuông góc
b) Tính tỉ số AC^2+BD^2/ CD^2
c) Tính theo a diện tích tứ giác ACDB
Cho nửa đường tròn tâm (O) có đường kính AB = 2R. Kẻ hai tiếp tuyến Ax , By của nửa đường tròn (O) tại A và B (Ax , By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn(M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt tia Ax và By theo thứ tự tại C và D
1) Chứng minh tam giác COD vuông tại O
2) Chứng minh AC.BD = R2
3)Kẻ MH vuông góc AB (H thuộc AB). Chứng minh rằng BC đi qua trung điểm của đoạn MH
giúp mik với
BT: Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Kẻ 2 tiếm tuyến Ax, By của nửa đường tròn (O). Qua M thuộc nửa đường tròn ( M ≠ A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt các tia Ax và By theo thứ tự tại C và D
a, C/m: ΔCOD vuông
b, C/m: AC.BD = R2
c, Kẻ MH ⊥ AB. C/m: BC đi qua trung điểm của MH
Lời giải:
a)
Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có $CM=CA$. Mà $CM\perp MO, CA\perp OA$ nên $C$ cách đều 2 cạnh $OM, OA$. Do đó $OC$ là phân giác $\widehat{MOA}$
$\Rightarrow \widehat{COM}=\frac{1}{2}\widehat{AOM}$
Tương tự:
$\widehat{DOM}=\frac{1}{2}\widehat{DOM}$
$\Rightarrow \widehat{COD}=\widehat{COM}+\widehat{DOM}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}=90^0$
$\Rightarrow \triangle COD$ vuông tại $O$
b)
$AC.BD=CM.DM(1)$
Tam giác $COD$ vuông tại $O$ có $OM\perp CD$ nên theo hệ thức lượng trong tam giác ta có:
$CM.DM=OM^2=R^2(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow AC.BD=R^2$
c) Gọi $I$ là giao $BC$ và $MH$
$K$ là giao $BM$ và $Ax$
Ta có:
Vì $KC\parallel DB$ nên $\widehat{CKM}=\widehat{DBM}$ (so le trong)
$\widehat{DBM}=\widehat{DMB}=\widehat{KMC}$ (do $DM=DB$ nên tam giác $DMB$ cân tại D)
Do đó: $\widehat{CKM}=\widehat{KMC}$ nên tam giác $CKM$ cân tại $C$
$\Rightarrow CK=CM$. Mà $CM=CA$ nên $CK=CA$
Mặt khác:
$MH\parallel Ax$ (cùng vuông góc $AB$) nên theo định lý Talet:
$\frac{MI}{KC}=\frac{BI}{BC}=\frac{IH}{CA}$
Vừa cm được $KC=CA$ nên $MI=IH$ hay $I$ là trung điểm $MH$
Ta có đpcm.
a, CM : góc COD = 90o
b, CM : CD = AC + BD
c, gọi H là hình chiếu của M trên AB , I là giao điểm BC và MH . CM : IM = IH
Bạn có thể tham khảo bài tương tự ở đây:
CM góc COD = 90 độ
Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau
Ta có : OC là phân giác góc AOM
=> góc COM = 1/2 góc AOM
OD là phân giác góc BOM
=> góc DOM = 1/2 góc BOM
=> góc COD = góc COM + góc DOM = 1/2 ( góc AOM + góc BOM ) = 1/2 góc AOB = 1/2 x 180 độ = 90 độ
CM CD = AC + BD
Theo tính chất của 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có :
AC = CM
BD = MD
=> CD = MC + MD hay
CD = AC + BD
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB (đường kính của một đường tròn chia đường tròn đó thành hai nửa đường tròn). Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng:
∠COD = 90o
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
OC là tia phân giác của ∠AOM
OD và tia phân giác của ∠BOM
OC và OD là các tia phân giác của hai góc kề bù ∠AOM và ∠BOM nên OC ⊥ OD.
=> ∠COD = 90o (đpcm)