Lời giải:
a. Xét tam giác $HBA$ và $ABC$ có:

$\widehat{B}$ chung

$\widehat{BHA}=\widehat{BAC}=90^0$

$\Rightarrow \triangle HBA\sim \triangle ABC$ (g.g)

b. 

Theo tính chất tia phân giác ta có:
$\frac{DA}{DC}=\frac{AB}{BC}(1)$

$\frac{IH}{IA}=\frac{BH}{AB}(2)$

Từ tam giác đồng dạng phần a suy ra $\frac{BH}{AB}=\frac{BA}{BC}(3)$
Từ $(1); (2); (3)\Rightarrow \frac{DA}{DC}=\frac{IH}{IA}$

$\Rightarrow DA.IA=DC.IH$ (đpcm)

Hình vẽ:

a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHBA vuông tại H có

\(\widehat{B}\) chung

Do đó: ΔABC đồng dạng với ΔHBA

=>\(\dfrac{BA}{BH}=\dfrac{BC}{BA}\)

=>\(BA^2=BH\cdot BC\)

b:ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=12^2+16^2=400\)

=>\(BC=\sqrt{400}=20\left(cm\right)\)

\(BA^2=BH\cdot BC\)

=>\(BH=\dfrac{12^2}{20}=7,2\left(cm\right)\)

ΔAHB vuông tại H

=>\(HA^2+HB^2=AB^2\)

=>\(HA^2+7,2^2=12^2\)

=>\(HA^2=12^2-7,2^2=9,6^2\)

=>HA=9,6(cm)

c: Xét ΔABC có BD là phân giác

nên \(\dfrac{AD}{CD}=\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{12}{20}=\dfrac{3}{5}\)

=>\(S_{ABD}=\dfrac{3}{5}\cdot S_{BCD}\)

a.

Xét hai tam giác vuông HBA và ABC có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{HBA}\text{ chung}\\\widehat{AHB}=\widehat{BAC}=90^0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta HBA\sim\Delta ABC\left(g.g\right)\)

b.

Áp dụng định lý Pitago:

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\left(cm\right)\)

Do \(\Delta HBA\sim\Delta ABC\left(cmt\right)\Rightarrow\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{AB}{BC}\)

\(\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{6.8}{10}=4,8\left(cm\right)\)

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông HBA:

\(BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{6^2-4,8^2}=3,6\left(cm\right)\)

a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHBA vuông tại H có

góc B chung

Do đó:ΔABC\(\sim\)ΔHBA

b: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔHAC vuông tại H có 

\(\widehat{HBA}=\widehat{HAC}\)

Do đó:ΔHBA\(\sim\)ΔHAC

c: \(BH=\sqrt{15^2-12^2}=9\left(cm\right)\)

\(BC=\dfrac{AB^2}{BH}=\dfrac{15^2}{9}=25\left(cm\right)\)

\(AC=\sqrt{25^2-15^2}=20\left(cm\right)\)

d: ta có: ΔHBA\(\sim\)ΔHAC

nên HB/HA=HA/HC

hay \(HA^2=HB\cdot HC\)

a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHBA vuông tại H có

góc B chung

=>ΔABC đồng dạng vơi ΔHBA

=>AC/HA=AB/HB=BC/AB

=>AB^2=BH*BC; AC*AB=AH*BC

b: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHAC vuông tại H có

góc C chung

=>ΔABC đồng dạngvới ΔHAC

=>CA/CH=CB/CA

=>CA^2=CH*CB

d: AI/IC=AB/BC

KH/AH=BH/BA

mà AB/BC=BH/BA

nên AI/IC=KH/AH

a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHBA vuông tại H có

góc B chung

Do đó: ΔABC\(\sim\)ΔHBA

b: ta có: ΔABC\(\sim\)ΔHBA

nên BA/BH=BC/BA

hay \(BA^2=BH\cdot BC\)

a.Xét tam giác ABC và tam giác HBA, có:

^B: chung

^BAC = ^BHA = 90 độ

Vậy tam giác ABC đồng dạng tam giác HBA (g.g)

b.\(\rightarrow\dfrac{AB}{HB}=\dfrac{BC}{AB}\)

\(\Leftrightarrow AB^2=BH.BC\left(đfcm\right)\) (1)

c.Áp dụng định lý pitago \(\Rightarrow BC=\sqrt{6^2+10^2}=2\sqrt{34}\left(cm\right)\)

(1) \(\Leftrightarrow6^2=2\sqrt{34}BH\)

\(\Leftrightarrow BH=\dfrac{9\sqrt{34}}{17}\left(cm\right)\)

Áp dụng định lý pitago trong tam giác ABH \(\Rightarrow AH=\sqrt{6^2-\left(\dfrac{9\sqrt{34}}{17}\right)^2}=\dfrac{15\sqrt{34}}{17}\left(cm\right)\)

a) Xét ΔHBA và ΔABC có:

^A=^H=90^o

^HAB=^ACB(cùng phụ với ^ABC)

→ ΔHBA∼ΔABC(g.g)

b) Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông ABC, ta có:

\(BC=\sqrt{20^2+15^2}=25cm\)

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AH.BC=\dfrac{1}{2}AB.AC\)

\(\rightarrow AH.BC=AB.AC\)

\(\rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=12cm\)

c) Xét ΔAHB và ΔCHA có:

^AHB=^CHA=90^o

^HCA=^HAB(cùng phụ với ^ABC)

→ ΔAHB∼ΔCHA(g.g)

\(\rightarrow\dfrac{AH}{HB}=\dfrac{HC}{AH}\left(tươngứng\right)\)

\(\rightarrow AH^2=HB.HC\)

a,

pytago trong tam giác ABH

\(=>AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{6^2+4,5^2}=7,5cm\)

dễ dàng chứng minh \(\Delta AHB\sim\Delta CAB\left(g.g\right)=>\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{HB}{AB}=>AC=10cm\)

pytago cho tam giác ABC

\(=>BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=12,5cm\)

\(=>HC=BC-HB=8cm\)

b, pytago cho tam giác AHB

\(=>AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=3\sqrt{3}cm\)

rồi tính AC , CH làm tương tự bài trên