cho a > 1 , b >2. Tìm giá trị nhỏ nhất của P= \(\dfrac{a^2+b^2+1}{a+b}+\dfrac{1}{6}\)
Những câu hỏi liên quan
Cho biểu thức A=(\(\dfrac{x^2}{x^3-4x}+\dfrac{6}{6-3x}+\dfrac{1}{x+2}\)):(x-2 + \(\dfrac{10-x^2}{x+2}\))
a)Rút gọn A
b)Tính giá trị x của A với giá trị của x thỏa mãn |2x-1|=3
c) Tìm x để (3-4x).A<3
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B=(8-\(^{x^3}\)).A+x
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a + b + c ≥ 6, tìm giá trị nhỏ nhất của
R = a + b + c + \(\dfrac{1}{a}\) + \(\dfrac{1}{b}\) + \(\dfrac{1}{c}\) ≥ \(\dfrac{15}{2}\)
6 tháng 3 2022 lúc 19:14
Cho a,b,c>0 và a+b+c=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của P=\(\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2}\)
\(\dfrac{a}{1+b^2}=a-\dfrac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\dfrac{ab^2}{2b}=a-\dfrac{1}{2}ab\)
Tương tự: \(\dfrac{b}{1+c^2}\ge b-\dfrac{1}{2}bc\) ; \(\dfrac{c}{1+a^2}\ge c-\dfrac{1}{2}ca\)
Cộng vế:
\(P\ge a+b+c-\dfrac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\ge a+b+c-\dfrac{1}{6}\left(a+b+c\right)^2=\dfrac{3}{2}\)
\(P_{min}=\dfrac{3}{2}\) khi \(a=b=c=1\)
Đúng 1
Bình luận (0)
8 tháng 7 2021 lúc 14:26
Cho a+b≤1. Tìm giá trị nhỏ nhất của S =\(\dfrac{1}{a^3+b^3}\)+\(\dfrac{1}{a^2b}+\dfrac{1}{ab^2}\)
\(S=\dfrac{1}{a^3+b^3}+\dfrac{\dfrac{9}{4}}{3a^2b}+\dfrac{\dfrac{9}{4}}{3ab^2}+\dfrac{1}{4ab}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng Engel có:
\(S\ge\dfrac{\left(1+\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}\right)^2}{a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}+\dfrac{1}{4ab}.\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow S\ge\dfrac{16}{\left(a+b\right)^3}+\dfrac{1}{\left(a+b\right)^2}.\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow S\ge\dfrac{16}{1}+\dfrac{1}{1}.\dfrac{4}{1}=20\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)
Vậy GTNN của \(S=20\) khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)
Đúng 1
Bình luận (0)
9 tháng 5 2022 lúc 20:01
1.Cho 3 số thực dương a,b,c Tìm giá trị nhỏ nhất của
\(\dfrac{1}{\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\left(a+c\right)}-\dfrac{2}{5\sqrt{a+b+c}}\)
2.Cho 3 sô thực dương thỏa mãn 6a+3b+2a=abc
Tìm giá trị lớn nhất của Q = \(\dfrac{1}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{2}{\sqrt{b^2+4}}+\dfrac{3}{\sqrt{c^2+9}}\)
Cho a,b là các số thực thỏa mãn a≥1,b≥2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\(a^2\)+\(b^2\)+\(\dfrac{1}{a+b}\)+\(\dfrac{1}{b}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:
$a^2+1\geq 2a$
$b^2+4\geq 4b$
$\Rightarrow a^2+b^2\geq 2a+4b-5$
$\Rightarrow P\geq 2a+4b-5+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b}$
$=\frac{a+b}{9}+\frac{1}{a+b}+(\frac{b}{4}+\frac{1}{b})+\frac{17}{9}a+\frac{131}{36}b-5$
$\geq 2\sqrt{\frac{1}{9}}+2\sqrt{\frac{1}{4}}+\frac{17}{9}a+\frac{131}{36}b-5$
$=\frac{2}{3}+1+\frac{17}{9}a+\frac{131}{36}b-5$
$\geq \frac{2}{3}+1+\frac{17}{9}+\frac{131}{36}.2-5=\frac{35}{6}$
Vậy $P_{\min}=\frac{35}{6}$ khi $a=1; b=2$
Đúng 2
Bình luận (0)
Cho 2 số dương a,b và a = 5 - b. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng \(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\)
\(GT\Rightarrow a+b=5\)
\(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}=\dfrac{4}{5}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\dfrac{5}{2}\)
Đúng 1
Bình luận (0)
28 tháng 3 2022 lúc 21:49
cho a,b,c > 0 tìm giá trị nhỏ nhất của 2( a + b + c ) + \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\) Khi a2+b2+c2 = 3
10 tháng 5 2022 lúc 21:19
Cho a,b,c >0 thoả mãn ab+bc+ca=3. Tìm giá trị nhỏ nhất của
P=\(\dfrac{1+3a}{1+b^2}+\dfrac{1+3b}{1+c^2}+\dfrac{1+3c}{1+a^2}\)
Ta có BĐT: \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)=3.3=9\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge3\)
Phân tích và áp dụng BĐT AM-GM:
\(\dfrac{1+3a}{1+b^2}=\dfrac{1}{1+b^2}+\dfrac{3a}{1+b^2}=\left(1-\dfrac{b^2}{1+b^2}\right)+\left(3a-\dfrac{3ab^2}{1+b^2}\right)\ge\left(1-\dfrac{b^2}{2b}\right)+\left(3a-\dfrac{3ab^2}{2b}\right)=\left(1-\dfrac{b}{2}\right)+\left(3a-\dfrac{3}{2}ab\right)\)
Tương tự:
\(\dfrac{1+3b}{1+c^2}\ge\left(1-\dfrac{c}{2}\right)+\left(3b-\dfrac{3}{2}bc\right)\)
\(\dfrac{1+3c}{1+a^2}\ge\left(1-\dfrac{a}{2}\right)+\left(3c-\dfrac{3}{2}ca\right)\)
Cộng các vế của các BĐT ta được:
\(P\ge3-\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)+3\left(a+b+c\right)-\dfrac{3}{2}\left(ab+bc+ca\right)=3+\dfrac{5}{2}\left(a+b+c\right)-\dfrac{3}{2}.3\ge3+\dfrac{5}{2}.3-\dfrac{9}{2}=6\)
\(P=6\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Vậy \(P_{min}=6\)
Đúng 0
Bình luận (0)