Cách ngắn ngọn nhất:

\(x^2-2\left(m+1\right)x+4m=0\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x-2mx+4m=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-2\right)-2m\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x-2m\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=2m\end{matrix}\right.\)

Phương trình (1) có 2 nghiệm là \(x=2;x=2m\). Mặt khác phương trình (1) cũng có 2 nghiệm là x₁, x₂ nên ta chia làm 2 trường hợp:

TH₁: \(x_1=2;x_2=2m\).

Có \(2x_1-x_2=-2\Rightarrow2.2-2m=-2\Leftrightarrow m=3\)

TH₂: \(x_1=2m;x_2=2\)

Có \(2x_1-x_2=-2\Rightarrow2.\left(2m\right)-2=-2\Leftrightarrow m=0\)

Vậy m=0 hay m=3

pt sai 

Để pt có 2 nghiệm pb khác 0:

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=4\left(m-1\right)^2-3\left(m^2-4m+1\right)>0\\x_1x_2=\dfrac{m^2-4m+1}{3}\ne0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2+4m+1>0\\m^2-4m+1\ne0\end{matrix}\right.\) (1)

Theo hệ thức Viet:  \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{4\left(m-1\right)}{3}\\x_1x_2=\dfrac{m^2-4m+1}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{1}{2}\left(x_1+x_2\right)\Leftrightarrow\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{1}{2}\left(x_1+x_2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1+x_2=0\\x_1x_2=2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{4\left(m-1\right)}{3}=0\\\dfrac{m^2-4m+1}{3}=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-1\\m=5\end{matrix}\right.\) 

Thế vào hệ điều kiện (1) kiểm tra chỉ có \(\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=5\end{matrix}\right.\) thỏa mãn

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2+2m=m^2+1>0;\forall m\)

\(\Rightarrow\) Pt luôn có 2 nghiệm pb với mọi m

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=-2m\end{matrix}\right.\)

Cộng vế với vế: \(x_1x_2+x_1+x_2=-2\) (1)

\(x_1^2+x_1-x_2=5-2m\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+x_1-x_2=5+x_1x_2\) (2)

Cộng vế với vế (1) và (2):

\(\Rightarrow x_1^2+2x_1=3\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+2x_1-3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=1\Rightarrow x_2=-\dfrac{3}{2}\\x_1=-3\Rightarrow x_2=-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\) (thế \(x_1\) vào (1) để tính ra \(x_2\))

Thế vào \(x_1x_2=-2m\Rightarrow m=-\dfrac{x_1x_2}{2}\Rightarrow m=\pm\dfrac{3}{4}\)

a, bạn tự làm 

b, Thay x = 3 vào pt trên ta được 

\(9-3m-3=0\Leftrightarrow6-3m=0\Leftrightarrow m=2\)

Thay m = 2 vào ta được \(x^2-2x-3=0\)

Ta có a - b + c = 1 + 2 - 3 = 0 

vậy pt có 2 nghiệm x = -1 ; x = 3 

c, \(\Delta=m^2-4\left(-3\right)=m^2+12>0\)

vậy pt luôn có 2 nghiệm pb 

\(x_1x_2+5\left(x_1+x_2\right)-1997=0\)

\(\Rightarrow-3+5m-1997=0\Leftrightarrow5m-2000=0\Leftrightarrow m=400\)

\(\Delta'=\left(2m+1\right)^2-\left(4m^2+4m\right)=1>0;\forall m\Rightarrow\) pt luôn có 2 nghiệm pb

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(2m+1\right)\\x_1x_2=4m^2+4m\end{matrix}\right.\)

\(\left|x_1-x_2\right|=x_1+x_2\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2\ge0\\\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\left(2m+1\right)\ge0\\-2x_1x_2=2x_1x_2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ge-\dfrac{1}{2}\\x_1x_2=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ge-\dfrac{1}{2}\\4m^2+4m=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\mm=-1< -\dfrac{1}{2}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

áp dụng vi et 
x1+x2=\(\dfrac{-b}{a}=4m+2\)
x1.x2=\(\dfrac{c}{a}=4m^2+4m\)
ta có :
\(|x_1-x_2|=x_1+x_2\)
<->(x1-x2)²=(x1+x2)²
<->(x1+x2)²-4x₁.x₂=(4m+2)²
<->(4m+2)²-4(4m²+4m)=(4m+2)²
<->16m²+4+16m-16m²-16m=16m²+4+16m
<->16m²+16m=0
<->16m(m+1)=0
<->m=0
     m=-1
vậy m =0 và m=-1 thì tm hệ thức trên