\(x^2-x+\dfrac{1}{2}=x^2-2\cdot\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}\\ =\left(x^2-2\cdot\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}\right)-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\)

ta có: \(\left(x-\dfrac{1}{2}^{ }\right)^2\ge0\forall x\Rightarrow\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}>0\forall x\left(vì\dfrac{1}{4}>0\right)\)

hay \(x^2-x+\dfrac{1}{2}>0\forall x\)

a: Ta có: \(x^2-8x+20\)

\(=x^2-8x+16+4\)

\(=\left(x-4\right)^2+4>0\forall x\)

b: Ta có: \(-x^2+6x-19\)

\(=-\left(x^2-6x+19\right)\)

\(=-\left(x^2-6x+9+10\right)\)

\(=-\left(x-3\right)^2-10< 0\forall x\)

a)\(x^2-2xy+y^2+1=\left(x+y\right)^2+1\ge1>0\)

b)\(x-x^2-1=-\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)^2-\frac{3}{4}\le-\frac{3}{4}< 0\)

c)\(9x^2+12x+10=\left(9x^2+12x+4\right)+6=\left(3x+2\right)^2+6\ge6>0\)

d)\(3x^2-x+1=2x^2+\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)+\frac{3}{4}=2x^2+\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}>0`\)

bài 1) 

ta có \(\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2+a^2-2a+1+b^2-2b+1\ge0\)

=> \(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)

ý 1 mk làm òi còn 2 ý kia chưa làm thui

bài 3 nhé 

ta có với x,y >0 ÁP dụng bđt cô si ta có 

\(x^3+x^3+y^3\ge3x^2y;y^3+y^3+x^3\ge3y^2x\)

cộng tưngf vế và rút gọn thì ta có \(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2=xy\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow\frac{x^3+y^3}{xy}\ge x+y\)

\(\Rightarrow\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\ge x+y\)

ĐKXĐ: \(x\ne\pm2\)

a)\(A=\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+2}+\frac{x^2+4}{x^2-4}=\frac{x+2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}+\frac{x-2}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}+\frac{x^2+4}{x^2-4}\)

\(=\frac{x+2}{x^2-4}+\frac{x-2}{x^2-4}+\frac{x^2+4}{x^2-4}=\frac{x+2+x-2+x^2+4}{x^2-4}=\frac{x^2+2x+4}{x^2-4}=\frac{\left(x+1\right)^2+3}{x^2-4}\)

b)  \(\left(x+1\right)^2\ge0\Rightarrow\left(x+1\right)^2+3\ge3>0\) 

=> A<0 khi \(x^2-4< 0\Leftrightarrow x^2< 4\)

Vì \(x^2\ge0\Rightarrow0\le x^2< 4\Leftrightarrow-2< x< 2\)

Tại sao lại x khác -1 thì A<0 vì khi x=-1 thì A=-1<0 mà!

ui, đề thi HSG huyện mình nè. cậu huyện nào mà đăng thế

chứng minh BĐT : \(a^3+b^3+1\ge ab\left(a+b\right)\) với a>0,b>0

\(\Rightarrow a^3+b^3+1\ge ab\left(a+b\right)+abc=ab\left(a+b+c\right)\)

áp dụng BĐT trên,ta có:

\(x+y+1\ge\sqrt[3]{xy}\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{x+z+1}\le\frac{1}{\sqrt[3]{xy}\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\right)}+\frac{1}{\sqrt[3]{yz}\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\right)}+\frac{1}{\sqrt[3]{xz}\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\right)}\)

\(=\frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}{\sqrt[3]{xyz}\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\right)}=1\)

Dấu " = " xảy ra khi x = y = z = 1

Ap dung bdt \(a+b\ge\sqrt[3]{a^2b}+\sqrt[3]{ab^2}\left(a,b\ge0\right)\)

ta co \(x+y\ge\sqrt[3]{xy}\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}\right)\)

ma \(xyz=1=>\sqrt[3]{xy}=\frac{1}{\sqrt[3]{z}}\)

nen \(x+y\ge\frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{z}}\)

=> \(x+y+1\ge\frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}{\sqrt[3]{z}}\)

=>\(\frac{1}{x+y+1}\le\frac{\sqrt[3]{z}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}\)

chung minh tuong tu cung co \(\frac{1}{x+z+1}\le\frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}\) va \(\frac{1}{z+y+1}\le\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}\)

cong 3 bdt cung chieu ta duoc

\(\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{x+z+1}+\frac{1}{y+z+1}\le\frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}=1\)

dau = xay ra khi x=y=z=1

Chuc ban hoc tot !!!

Câu này em thấy có gì hay đâu mà sao năm nào cũng có huyện đăng làm đề thi HSG nhỉ? Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(a^3;b^3;c^3\right)\Rightarrow abc=1\)

Rồi áp dụng BĐT \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\) là ra!

Anh Thanh Tùng DZ nhầm dòng 2 thì phải:)

\(\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}\)

\(=\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{y}\)

\(=\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}\ge2.\sqrt{\frac{x}{z}.\frac{z}{x}}+2.\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}+2.\sqrt{\frac{y}{z}.\frac{z}{y}}=2+2+2=6\)

                                                                                                                           đpcm

Svac-xơ 

\(VT=\left(\frac{x+y}{z}+1\right)+\left(\frac{y+z}{x}+1\right)+\left(\frac{z+x}{y}+1\right)-3\)

\(VT=\frac{x+y+z}{x}+\frac{x+y+z}{y}+\frac{x+y+z}{z}-3=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-3\)

\(\ge\left(x+y+z\right).\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}-3=9-3=6\)

Các bạn chú ý khi chứng minh một bất đẳng thức có dấu bằng thì các bạn phải chỉ ra dấu "=" xảy ra khi nào?

(Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y=z)

a) 

Đặt \(A=9x^2-6x+2\)

\(=\left(3x\right)^2-2.3x+1+1\)

\(=\left(3x+1\right)^2+1\)

Ta có: \(\left(3x+1\right)^2\ge0;\forall x\)

\(\Rightarrow\left(3x+1\right)^2+1\ge0+1;\forall x\)

Hay \(A\ge1>0;\forall x\)

Các phần khác tương tự cứ việc biến đổi thành hằng đẳng thức

\(a,9x^2-6x+2\)

\(=\left(3x\right)^2-2.3x.1+1^2+1\)

\(=\left(3x-1\right)^2+1\)

Vì\(\left(3x-1\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow\left(3x-1\right)^2+1\ge1>0\forall x\)

\(\Rightarrow9x^2-6x+2>0\forall x\)

\(b,x^2+x+1=x^2+2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\)

Vì\(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}>0\forall x\)

\(\Rightarrow x^2+x+1>0\forall x\)

À xin lỗi sửa sai chút là \(\left(3x-1\right)^2\)nhé