Đáp án B

Đặt t = 3sin x - 4 cos x => -5 ≤ t ≤ 5

Ta có: y = t² – 2t + 2m – 1 = (t – 1)² + 2m - 2

Với mọi t ta có (t – 1)² ≥ 0 nên y ≥ 2m - 2 => min y = 2m - 2

Hàm số chỉ nhận giá trị dương ⇔ y > 0 ∀x ∈ R ⇔ min y > 0

⇔ 2m - 2 > 0 ⇔ m > 1

Đặt \(t=cosx;t\in\left[-1;1\right]\)

Để hàm số có tập xác định R

\(\Leftrightarrow cosx^2-\left(2+m\right)cosx+2m\ge0;\forall x\)

\(\Leftrightarrow t^2-\left(2+m\right)t+2m\ge0\) với mọi \(t\in\left[-1;1\right]\)

Đặt \(f\left(t\right)=t^2-\left(2+m\right)t+2m\); \(I\left(\dfrac{2+m}{2};f\left(\dfrac{2+m}{2}\right)\right)\)

TH1: \(\dfrac{2+m}{2}< -1\) \(\Leftrightarrow m< -4\)

Để \(f\left(t\right)\ge0;\forall t\in\left[-1;1\right]\) \(\Leftrightarrow\)\(f\left(t\right)_{min}=f\left(-1\right)\ge0\) \(\Leftrightarrow3+3m\ge0\Leftrightarrow m\ge-1\)(ktm đk)

TH2: \(-1\le\dfrac{m+2}{2}\le1\)\(\Leftrightarrow-4\le m\le0\)

Để \(f\left(t\right)\ge0;\forall t\in\left[-1;1\right]\) \(\Leftrightarrow f\left(t\right)_{min}=f\left(\dfrac{2+m}{2}\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow-m^2+4m-4\ge0\)\(\Leftrightarrow m=2\) (ktm đk)

TH3:\(\dfrac{m+2}{2}>1\) \(\Leftrightarrow m>0\)

Để \(f\left(t\right)\ge0;\forall t\in\left[-1;1\right]\)\(\Leftrightarrow f\left(t\right)_{min}=f\left(1\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow m-1\ge0\Leftrightarrow m\ge1\)

Kết hợp cả ba TH \(\Rightarrow m\ge1\)

Vậy...

Đơn giản hơn:

\(t^2-\left(m+2\right)t+2m\ge0\) ; \(\forall t\in\left[-1;1\right]\)

\(\Leftrightarrow t\left(t-2\right)-m\left(t-2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-m\right)\left(t-2\right)\ge0\) (1)

Do \(t-2< 0\) ; \(\forall t\in\left[-1;1\right]\) nên (1) tương đương:

\(t-m\le0\)

\(\Leftrightarrow m\ge t\) ; \(\forall t\in\left[-1;1\right]\)

\(\Rightarrow m\ge1\)

đặt \(3sinx-4cosx=t\) đk \(-5\le t\le5\) pt trên trở thành \(t^2-2t\ge2m-1\)

\(\left(t-1\right)^2\ge2m\Leftrightarrow m\le0\)

Để y xác định thì \(\left(m-2\right)x+2m-3\ge0\forall x\in\left[-1;4\right]\)

\(\Leftrightarrow mx-2x+2m-3\ge0\)

\(\Leftrightarrow m\left(x+2\right)-2x-3\ge0\)

\(\Leftrightarrow m\ge\dfrac{2x+3}{x+2}\left(x+2>0\forall x\in\left[-1;4\right]\right)\)

\(\Rightarrow1\le m\le\dfrac{11}{6}\)

ĐKXĐ: 2m-3sinx>=0

=>3sin x<=2m

=>sin x<=2m/3

mà -1<=sin x<=1

nên -1<=2m/3<=1

=>-3<=2m<=3

=>-3/2<=m<=3/2

Đáp án D

Đặt t = 3sin x - 4cos x => -5 ≤ t ≤ 5 (dùng bất đẳng thức bunhiacopxki)

Ta có: y = (3sin x – 4cos x)² – 6sin x + 8cos x

              =      t² – 2t = (t – 2)² -1

Do -5 ≤ t ≤ 5 => 0 ≤ (t – 2)² ≤ 36 => min y = -1

Suy ra yêu cầu bài toán -1 ≥ 2m - 1 ⇔ m ≤ 0.