a: ABCD là hình vuông

=>AC là phân giác của góc BAD và \(AC^2=AB^2+BC^2\)

AC là phân giác của góc BAD

=>\(\widehat{BAC}=\widehat{DAC}=\dfrac{1}{2}\cdot90^0=45^0\)

\(AC^2=AB^2+BC^2\)

=>\(AC^2=a^2+a^2=2a^2\)
=>\(AC=a\sqrt{2}\)

\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot cos\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)\)

\(=a\cdot a\sqrt{2}\cdot cosBAC\)

\(=a^2\cdot\sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=a^2\)

b: Vì ABCD là hình vuông

nên AC\(\perp\)BD

=>\(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=0\)

a) Ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}}  = \sqrt {2{a^2}}  = a\sqrt 2 \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = a.a\sqrt 2 .\cos \widehat {BAC} = {a^2}\sqrt 2 \cos {45^o} = {a^2}.\)

b) Dễ thấy: \(AC \bot BD \Rightarrow (\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} ) = {90^o}\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD}  = AC.BD.\cos {90^o} = AC.BD.0 = 0.\)

\(\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AS}.\overrightarrow{AB}=a.a.cos60^0=\dfrac{a^2}{2}\)

Ta có: \(AC = BD = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2 \)

+) \(AB \bot AD \Rightarrow \overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {AD}  \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = 0\)

+) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = a.a\sqrt 2.\cos 45^\circ  = a^2\)

+) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB}  = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {CB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = a\sqrt 2 .a.\cos 135^\circ  =  - {a^2}\)

+) \(AC \bot BD \Rightarrow \overrightarrow {AC}  \bot \overrightarrow {BD}  \Rightarrow \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD}  = 0\)

Chú ý

\(\overrightarrow {a}  \bot \overrightarrow {b}  \Leftrightarrow \overrightarrow {a} .\overrightarrow {b}  = 0\)

ABCD là hình vuông

=>AC\(\perp\)BD

=>\(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=0\)

BM=BC/2=10cm

\(AM=\sqrt{20^2+10^2}=10\sqrt{5}\left(cm\right)\)

Xét ΔABM vuông tại B có sin BAM=BM/AM=10/10căn 5

nên cos BAM=2/căn 5

\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AM}=AB\cdot AM\cdot cosBAM=20\cdot10\sqrt{5}\cdot\dfrac{2}{\sqrt{5}}\)

\(=20\cdot10\cdot2=40\cdot10=400\)

Lời giải:$ABCD$ là hình vuông nên $AC=\sqrt{2}a$

Ta thấy: $SA^2+SC^2=a^2+a^2=2a^2=AC^2$

$\Rightarrow SAC$ là tam giác vuông tại $S$

$\Rightarrow \overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC}=0$

\(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}\right)\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\right)\)

\(=\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}^2+\overrightarrow{DC}.\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}.\overrightarrow{AD}\)

\(=\overrightarrow{AD}^2-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{DC}=a^2-a.2a=-a^2\)

a: AB=BC=CD=DA=6a

\(AC=BD=\sqrt{\left(6a\right)^2+\left(6a\right)^2}=6a\sqrt{2}\)

\(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\right|=CB=6a\)

\(\left|\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}\right|=\sqrt{BC^2+BD^2+2\cdot BC\cdot BD\cdot cos45}\)

\(=\sqrt{36a^2+72a^2+\sqrt{2}\cdot6a\cdot6a\sqrt{2}}\)

\(=6a\sqrt{5}\)

b: \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=6a\cdot6a\sqrt{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(=36a^2\)