a: Xét tứ giác OBDM có

góc OBD+góc OMD=180 độ

=>OBDM là tư giác nội tiếp

c: Xét ΔKOB và ΔKFE có

góc KOB=góc KFE

góc OKB=góc FKE

=>ΔKOB đồng dạng với ΔKFE
=>KO/KF=KB/KE

=>KO*KE=KB*KF

Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến

a, Ta có: AC = CM; BD = DM => AC+BD=CD

b,  C O A ^ = C O M ^ ; D O M ^ = D O B ^

=>  C O D ^ = 90 0

c, AC.BD = MC.MD =  M O 2 = R 2

d, Gọi I là trung điểm của CD. Sử dụng tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông và đường trung bình trong hình thang để suy ra đpcm

b) Xét tứ giác OMCN có:

∠(OMC) = 90 0  (AC ⊥ OD)

∠(ONC) = 90 0  (CB ⊥ OE)

∠(NCM) = 90 0  (AC ⊥ CB)

⇒ Tứ giác OMCN là hình chữ nhật

a/

Xét tg vuông OAC và tg vuông OMC có

OA=OM=R

OC chung

=> tg OAC = tg OMC  (Hai tg vuông có cạnh huyền và cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau)

\(\Rightarrow\widehat{AOC}=\widehat{MOC}=\dfrac{\widehat{AOM}}{2}\)

Tương tự ta cũng có

tg OBD = tg OMD \(\Rightarrow\widehat{BOD}=\widehat{MOD}=\dfrac{\widehat{BOM}}{2}\)

\(\Rightarrow\widehat{MOC}+\widehat{MOD}=\widehat{COD}=\dfrac{\widehat{AOM}}{2}+\dfrac{\widehat{BOM}}{2}=\dfrac{180^o}{2}=90^o\)

b/

AB+BD nhỏ nhất khi \(M\equiv B\)

c) BM cắt Ax tại E.BC cắt MH tại I

Vì AB là đường kính nên \(\angle AMB=90\)

Vì CM,CA là tiếp tuyến nên \(CM=CA\)

Ta có tam giác AME vuông tại M có \(CM=CA\Rightarrow C\) là trung điểm AE

Vì \(MH\parallel AE(\bot AB)\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{IH}{AC}=\dfrac{BI}{BC}\\\dfrac{IM}{CE}=\dfrac{BI}{BC}\end{matrix}\right.\Rightarrow\dfrac{IH}{AC}=\dfrac{IM}{CE}\)

mà \(AC=CE\Rightarrow IH=IM\) nên ta có đpcm

C là giao điểm 2 tiếp tuyến tại A và M \(\Rightarrow OC\) là trung trực AM

\(\Rightarrow E\) là trung điểm AM

Tương tự ta có OD là trung trực BM \(\Rightarrow F\) là trung điểm BM

\(\Rightarrow EF\) là đường trung bình tam giác ABM 

\(\Rightarrow EF||AB\Rightarrow ONEF\) là hình thang (1)

Lại có O là trung điểm AB \(\Rightarrow OF\) là đường trung bình tam giác ABM 

\(\Rightarrow OF=\dfrac{1}{2}AM=AE\) 

Mà \(OF||AE\) (cùng vuông góc BM)

\(\Rightarrow AEFO\) là hình bình hành \(\Rightarrow\widehat{OFE}=\widehat{OAE}\)

Mà \(EN=AE=\dfrac{1}{2}AM\Rightarrow\Delta AEN\) cân tại E \(\Rightarrow\widehat{OAE}=\widehat{ANE}\)

\(\widehat{ANE}+\widehat{ONE}=180^0\Rightarrow\widehat{OFE}+\widehat{ONE}=180^0\)

Lại có \(\widehat{ONE}+\widehat{NEF}=180^0\) (2 góc trong cùng phía)

\(\Rightarrow\widehat{OFE}=\widehat{NEF}\)

\(\Rightarrow ONEF\) là hình thang cân

Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có: 

\(\left\{{}\begin{matrix}AD=MD\\BC=MC\end{matrix}\right.\Rightarrow AD+BC=MD+MC=CD\)

Vì \(\left\{{}\begin{matrix}AD=MD\\OA=OM=R\end{matrix}\right.\Rightarrow OD\) là trung trực AM

Mà tam giác OAM cân tại O nên OD cũng là p/g

\(\Rightarrow\widehat{DOM}=\dfrac{1}{2}\widehat{AOM}\)

Cmtt: \(\widehat{COM}=\dfrac{1}{2}\widehat{BOM}\)

Mà \(\widehat{AOM}+\widehat{BOM}=180^0\)

Cộng VTV ta được \(\widehat{COD}=\widehat{COM}+\widehat{DOM}=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{AOM}+\widehat{MOB}\right)=90^0\)

Gọi I là trung điểm CD

\(\Rightarrow OI=IC=ID=\dfrac{1}{2}CD\)

Do đó I là tâm \(\left(COD\right)\)

Lại có \(\left\{{}\begin{matrix}IC=ID\\OA=OB\end{matrix}\right.\Rightarrow OI\) là đtb 

\(\Rightarrow OI\text{//}AC\Rightarrow OI\bot AB\)

Khi đó O nằm trên đường tròn tâm I đường kính CD và IO vuông góc với AB tại O.

Vậy đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB tại O.