1.

\(a+b+c=0\) nên pt luôn có 2 nghiệm

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\)

\(A=\dfrac{2x_1x_2+3}{x_1^2+x_2^2+2x_1x_2+2}=\dfrac{2x_1x_2+3}{\left(x_1+x_2\right)^2+2}=\dfrac{2\left(m-1\right)+3}{m^2+2}=\dfrac{2m+1}{m^2+2}\)

\(A=\dfrac{m^2+2-\left(m^2-2m+1\right)}{m^2+2}=1-\dfrac{\left(m-1\right)^2}{m^2+2}\le1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(m=1\)

2.

\(\Delta=m^2-4\left(m-2\right)=\left(m-2\right)^2+4>0;\forall m\) nên pt luôn có 2 nghiệm pb

Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-2\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{\left(x_1^2-2\right)\left(x_2^2-2\right)}{\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)}=4\Rightarrow\dfrac{\left(x_1x_2\right)^2-2\left(x_1^2+x_2^2\right)+4}{x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1}=4\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(x_1x_2\right)^2-2\left(x_1+x_2\right)^2+4x_1x_2+4}{x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1}=4\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(m-2\right)^2-2m^2+4\left(m-2\right)+4}{m-2-m+1}=4\)

\(\Rightarrow-m^2=-4\Rightarrow m=\pm2\)

Giả sử ta định m sao cho pt \(x^2-mx+m-1=0\left(1\right)\) luôn có nghiệm.

Theo định lí Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\)

\(C=\dfrac{2x_1x_2+3}{x_1^2+x_2^2+2\left(x_1x_2+1\right)}=\dfrac{2x_1x_2+3}{\left(x_1+x_2\right)^2+2}=\dfrac{2\left(m-1\right)+3}{m^2+2}=\dfrac{2m+1}{m^2+2}\)

\(\Rightarrow C\left(m^2+2\right)=2m+1\Rightarrow Cm^2-2m+\left(2C+1\right)=0\left(2\right)\)

Coi phương trình (2) là phương trình ẩn m tham số C, ta có:

\(\Delta'=1^2-C.\left(2C+1\right)=-2C^2-C+1\)

Để phương trình (2) có nghiệm thì:

\(\Delta'\ge0\Rightarrow-2C^2-C+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(2C-1\right)\left(C+1\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow-1\le C\le\dfrac{1}{2}\)

Vậy \(MinC=-1;MaxC=\dfrac{1}{2}\)

Trả lời 

a) Delta phương trình đó rồi xét 2 trường hợp

b) phần à delta lên sẽ tìm được m rồi thế vào là xong

Chắc vậy không chắc cho nắm

\(x^2-mx+m-1=0\)

nhận thấy:\(a+b+c=1-m+m-1=0\Rightarrow x_1=1;x_2=m-1\)

ta có\(A=\frac{2x_1x_2+3}{x_1^2+x_2^2+2\left(x_1x_2+1\right)}\)\(=\frac{2\left(m-1\right)+3}{1+\left(m-1\right)^2+2.\left(m-1+1\right)}\)\(=\frac{2m+1}{1+m^2-2m+1+2m}=\frac{2m+1}{m^2+2}\)

Nhân chéo 2 vế ta được:

\(Am^2+2A=2m+1\Leftrightarrow Am^2-2m+2A-1=0\)

\(\Delta'=1-\left(2A-1\right)A=-2A^2+A+1\)

Để A có GTNN và GTLN thì x phải có nghiệm\(\Rightarrow\Delta\ge0\)

\(\Leftrightarrow-2A^2+A+1\ge0\Leftrightarrow2A^2-A-1\le0\)

\(\Leftrightarrow2A^2-\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}A+\frac{1}{8}-\frac{9}{8}\le0\Leftrightarrow\left(\sqrt{2}A-\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)^2\le\frac{9}{8}\)

\(\Leftrightarrow-\frac{3}{2\sqrt{2}}\le\sqrt{2}A-\frac{1}{2\sqrt{2}}\le\frac{3}{2\sqrt{2}}\Leftrightarrow-\frac{2}{2\sqrt{2}}\le\sqrt{2}A\le\frac{4}{2\sqrt{2}}\)

\(\Leftrightarrow-\frac{2}{4}\le A\le\frac{4}{4}\Leftrightarrow-\frac{1}{2}\le A\le1\)

\(A=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=1\)     

\(A=1\Leftrightarrow x_1=1;x_2=0\)

bnj giải thích hộ mk cái chỗ 2A^2-\(\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}\)A+1/4-9/8 tại sao lại lấy \(\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}\)mà ko phải cái khác ,giải thích giùm nha!!!

bạn bấm máy tính sẽ ra được min và max từ đó sẽ thơm bớt để ra được bạn nhé

mọi ng khỏi cần giải nữa nha mk bk lm r

\(\Delta'=m^2-2\left(m^2-2\right)=4-m^2\ge0\Rightarrow-2\le m\le2\)

Khi đó ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-m\\x_1x_2=\frac{m^2-2}{2}\end{matrix}\right.\)

\(A=\frac{2x_1x_2+3}{x_1^2+x_2^2+2x_1x_2+2}=\frac{2x_1x_2+3}{\left(x_1+x_2\right)^2+2}=\frac{m^2+1}{m^2+2}=1-\frac{1}{m^2+2}\)

Do \(0\le m^2\le4\Rightarrow\frac{1}{6}\le\frac{1}{m^2+2}\le\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A_{min}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\Rightarrow m=0\\A_{max}=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\Rightarrow m=\pm2\end{matrix}\right.\)

\(\Delta=\left(-m\right)^2-4\left(m-1\right).1=\left(m-2\right)^2\)

\(\Rightarrow\)Pt có hai nghiệm phân biệt \(\forall m\ne2\)

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-1\end{cases}}\),\(\Rightarrow x_1^2+x_2^2=\left(m-1\right)^2+1\) thay vào B:

\(B=\frac{2\left(m-1\right)+3}{\left(m-1\right)^2+1+2\left[\left(m-1\right)+1\right]}\)

\(B=\frac{2m+1}{m^2+2}\)

Mình chỉ biết làm đến đấy thôi, xl bạn T_T.
 

Giờ mình ra GTNN rồi

\(B=\frac{2m+1}{m^2+2}\)

\(B=\frac{\frac{1}{2}\left(m^2+4m+4\right)-\frac{1}{2}\left(m^2+2\right)}{m^2+2}=\frac{\left(m+2\right)^2}{2\left(m^2+2\right)}-\frac{1}{2}\ge\frac{-1}{2}\)

\(\Rightarrow B_{min}=\frac{-1}{2}\)tại \(m=-2\)

Cảm ơn vì sự giúp đỡ của bạn nha . Mình tìm ra được các giải hợp lí hơn rùi

Có: \(\Delta=\left(m-2\right)^2\ge0\) => pt đã cho có nghiệm 

Vi-et: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-1\end{cases}}\)

\(C=\frac{2x_1x_2+3}{\left(x_1+x_2\right)^2+2}=\frac{2m+1}{m^2+2}\)

đến đây xét delta ra min max..

Ta có \(\Delta=m^2-4\left(m-1\right)=m^2-4m+4=\left(m-2\right)^2\ge0\)

=> PT luôn có 2 nghiệm x₁;x₂ với mọi m

Khi đó theo hệ thức Vi-et ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-1\end{cases}}\)

Khi đó: \(B=\frac{2x_1x_2+3}{x_1^2+x_2^2+2\left(x_1x_2+1\right)}\)

\(B=\frac{2x_1x_2+3}{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+2x_1x_2+2}\)

\(B=\frac{2x_1x_2+3}{\left(x_1+x_2\right)^2+3}=\frac{2\left(m-1\right)3}{m^2+2}=\frac{2m+1}{m^2+2}\)

=> 2B+1=\(2\cdot\frac{2m+1}{m^2+2}+1=\frac{4m+2+m^2+2}{m^2+2}=\frac{m^2+4m+4}{m^2+2}=\frac{\left(m+2\right)^2}{m^2+2}\)

Ta có (m+2)² >=0; m²+2>0 

<=> 2B+1 >=0 <=> \(B\ge\frac{-1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> m=-2

Vậy Min_B=\(\frac{-1}{2}\)đạt được khi m=-2