mình làm tới bước này rồi nhờ mọi người giải tiếp với với cách xét m,n cùng lẻ và m,n khác tính chẵn lẽ nhé 1

Bài ấy dễ mà

\(\frac{m^3-n^3-3mn\left(m-2\right)}{m^2+n^2-2mn}\)

\(=\frac{m^3-n^3-3m^2n+3mn^2}{m^2-2mn+n^2}\)

\(=\frac{m^3-3m^2n-3mn^2-n^3}{m^2-2mn+n^2}=\frac{\left(m-n\right)^3}{\left(m-n\right)^2}=m-n\)

Thay m = 6,75 , n = -3,25 ta có :

6,75 - ( - 3,25 ) = 6,75 + 3,25 = 10

Vậy giá trị biểu thức trên bằng 10 khi m = 6,75 ; n = -3,25

\(A=\left(\sqrt{m+\frac{2mn}{1-n^2}}+\sqrt{m-\frac{2mn}{1+n^2}}\right)\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}\)

Biến đổi ta được : \(\left(\sqrt{a'b}-\sqrt{ab'}\right)^2+\left(\sqrt{a'c}-\sqrt{ac'}\right)^2+\left(\sqrt{b'c}-\sqrt{bc'}\right)^2=0\)

Ta có: \(\sqrt{6}-\frac{m}{n}>0\Leftrightarrow\sqrt{6}n-m>0\Leftrightarrow6n^2>m^2\Leftrightarrow6n^2\ge m^2+1\) (Do m, n là các số tự nhiên).

Mặt khác \(m^2+1\equiv1;2\left(mod3\right)\Rightarrow m^2+1⋮̸3\).

Mà \(6n^2⋮3\) nên \(6n^2\ge m^2+1\).

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

\(\sqrt{6}n>\frac{1}{2m}+m\Leftrightarrow6n^2>\left(\frac{1}{2m}+m\right)^2\).

Ta chỉ cần chứng minh:

\(\left(\frac{1}{2m}+m\right)^2< m^2+2\Leftrightarrow\frac{1}{4m^2}< 1\Leftrightarrow4m^2>1\) (luôn đúng với mọi m \(\in\) N*).

Vậy ta có đpcm.

\(A=\dfrac{m^2+5m+n^2+5n+2mn-6}{m^2+6m+n^2+6n+2mn}\)

\(=\dfrac{\left(m+n\right)^2+5\left(m+n\right)-6}{\left(m+n\right)^2+6\left(m+n\right)}\)

\(=\dfrac{2013^2+5\cdot2013-6}{2013^2+6\cdot2013}=\dfrac{2012}{2013}\)