Question

Cho m,n là các số tự nhiên dương thỏa mãn: \(\sqrt{6}-\frac{m}{n}>0\). CMR: \(\sqrt{6}-\frac{m}{n}>\frac{1}{2mn}\)

Answer 1

Ta có: \(\sqrt{6}-\frac{m}{n}>0\Leftrightarrow\sqrt{6}n-m>0\Leftrightarrow6n^2>m^2\Leftrightarrow6n^2\ge m^2+1\) (Do m, n là các số tự nhiên).

Mặt khác \(m^2+1\equiv1;2\left(mod3\right)\Rightarrow m^2+1⋮̸3\).

Mà \(6n^2⋮3\) nên \(6n^2\ge m^2+1\).

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

\(\sqrt{6}n>\frac{1}{2m}+m\Leftrightarrow6n^2>\left(\frac{1}{2m}+m\right)^2\).

Ta chỉ cần chứng minh:

\(\left(\frac{1}{2m}+m\right)^2< m^2+2\Leftrightarrow\frac{1}{4m^2}< 1\Leftrightarrow4m^2>1\) (luôn đúng với mọi m \(\in\) N*).

Vậy ta có đpcm.