Tham khảo 

\(5\left(n+2\right)+4⋮\left(n+2\right)\)

\(\Rightarrow\left(n+2\right)\inƯ\left(4\right)=\left\{-4;-2-1;1;2;4\right\}\)

Mà \(n\in N\)

\(\Rightarrow n\in\left\{0;2\right\}\)

5(n+2)+4⋮(n+2)5(n+2)+4⋮(n+2)

=(n+2)∈Ư(4)={−4;−2−1;1;2;4}⇒(n+2)∈Ư(4)={−4;−2−1;1;2;4}

Mà 

5n + 14 = 5n + 10 + 4

= 5(n + 2) + 4

Để (5n + 14) ⋮ (n + 2) thì 4 ⋮ (n + 2)

⇒ n + 2 ∈ Ư(4) = {-4; -2; -1; 1; 2; 4}

⇒ n ∈ {-6; -4; -3; -2; -1; 0; 2}

Mà n ∈ ℕ

⇒ n ∈ {0; 2}

A=2+22+23+...+299+2100A=2+22+23+...+299+2100

⇒2A=22+23+24+...+2100+2101⇒2A=22+23+24+...+2100+2101

⇒A=2101−2⇒A=2101−2

B=3+32+33+...+399+3100B=3+32+33+...+399+3100

⇒3B=32+33+34+...+3100+3101⇒3B=32+33+34+...+3100+3101

⇒2B=3101−3⇒2B=3101−3

⇒B=3101−32

5n+14 chia hết cho n + 2

=> 5(n+2)+4 chia hết cho n + 2

=> 4 chia hết cho n + 2

=> n + 2 thuộc Ư(4)={1;-1;2;-2;4;-4}

=> n thuộc { -1;-3;0;-4;2;-6}

Lời giải:

$5n+1\vdots 7$

$\Rightarrow 5n+1+14\vdots 7$

$\Rightarrow 5n+15\vdots 7$

$\Rightarrow 5(n+3)\vdots 7\Rightarrow n+3\vdots 7$

$\Rightarrow n=7k-3$ với $k\in\mathbb{N}^*$

a) Dễ thấy P = 10²¹²⁰ + 2120

= 10²¹²⁰ + 212.10

= 10(10²¹¹⁹ + 212) 

=> P \(⋮10\)

Lại có P = 10²¹²⁰ + 2120

= 10(10²¹¹⁹ + 212)

= 10.(1000...00 + 212) 

         2119 số 0

= 10.1000...0212

          2116 số 0

Tổng các chữ số của số S = 1000...0212 (2116 chữ số 0)

là 1 + 0 + 0 + 0 +.... + 0 + 2 + 1 + 2 (2116 hạng tử 0)

= 1 + 2 + 1 + 2 = 6 \(⋮3\)

=> S \(⋮3\Rightarrow P=10S⋮3\)

mà \(\left\{{}\begin{matrix}P⋮10\\P⋮3\\\left(10,3\right)=1\end{matrix}\right.\Rightarrow P⋮10.3\Rightarrow P⋮30\)

Gọi (a,b) = d \(\left(d\inℕ^∗;d\ne1\right)\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}a⋮d\\b⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+3⋮d\\5n+2⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}5.(2n+3)⋮d\\2.(5n+2)⋮d\end{matrix}\right.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}10n+15⋮d\left(1\right)\\10n+4⋮d\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Lấy (1) trừ (2) ta được 

(10n + 15) - (10n + 4) \(⋮d\)

<=> 11 \(⋮d\)

\(\Leftrightarrow d\in\left\{1;11\right\}\) mà d \(\ne1\)

<=> d = 11 

Vậy (a;b) = 11

\(5n+14=5n+15-1=5\left(n+3\right)-1⋮\left(n+3\right)\\ =>n+3\inƯ\left(1\right)\\ Ư\left(1\right)=\left\{1;-1\right\}\\ =>n=\left\{-2;-4\right\}\)

mà n là số tự nhiên 

\(=>\) không có giá trị thoả mãn

n=2

\(\Leftrightarrow n+3=5\)

hay n=2

n+3=5

n=2

n + 10 = ( n + 3 ) + 7=> để n + 10 chia hết cho n + 3 thì 7 phải chia hết ( n+ 3 )

Ưcủa 7 là : 1 và 7 => nếu ( n + 3 ) = 1 ( loại )

                                  nếu ( n + 3 ) = 7 => n = 4