Lời giải:

PT hoành độ giao điểm:

$2x^2-mx-1=0(*)$

$\Delta=m^2+8>0$ với mọi $m$ đồng nghĩa $(P)$ và $(d)$ luôn cắt nhau tại 2 điểm $A,B$ phân biệt với mọi $m$

Áp dụng  định lý Viet: \(\left\{\begin{matrix} x_A+x_B=\frac{m}{2}\\ x_Ax_B=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Khoảng cách từ $O$ đến $AB$ là:

$\frac{|m.0+1-0|}{\sqrt{m^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{m^2+1}}$

$AB=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}$

$=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(mx_A+1-mx_B-1)^2}$

$=\sqrt{(x_A-x_B)^2(m^2+1)}$

$=\sqrt{(x_A+x_B)^2-4x_Ax_B}.\sqrt{m^2+1}$

$=\sqrt{\frac{m^2}{4}+2}.\sqrt{m^2+1}$

$S_{OAB}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{m^2}{4}+2}.\sqrt{m^2+1}.\frac{1}{\sqrt{m^2+1}}=\frac{3m}{2}$

$m=\pm \sqrt{\frac{8}{35}}$

a: PTHĐGĐ là;

-1/4x^2-mx+m+2=0

=>1/4x^2+mx-m-2=0

=>x^2+4mx-4m-8=0

\(\text{Δ}=\left(4m\right)^2-4\left(-4m-8\right)\)

\(=16m^2+16m+32\)

\(=16m^2+2\cdot4m\cdot2+4+28=\left(4m+2\right)^2+28>0\)

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b: \(A=x_1\cdot x_2\left(x_1+x_2\right)\)

\(=4m\left(4m+8\right)\)

\(=\left(16m^2+32m+16-16\right)\)

\(=\left(4m+4\right)^2-16>=-16\)

Dấu = xảy ra khi m=-1

\

Xét pt hoành độ gđ của (P) và (d):

\(2x^2=mx+1\)

\(\Leftrightarrow2x^2-mx-1=0\)  (1)

Có ac=2.(-1)=-2 => Pt (1) luôn có hai nghiệm pb trái dấu => (d) luôn cắt (P) tại hai điểm nằm khác phía nhau so với trục tung.

Giả sử \(A\left(x_1;2x^2_1\right);B\left(x_2;2x^2_2\right)\) là hai gđ của (d) và (P) với x_1;x₂ là hai nghiệm của pt (1)

Giả sử x₁<0<x₂

Gọi A' ; B' là hình chiếu của A và B lên trục Ox

=>\(AA'=2x^2_1;BB'=2x^2_2\)

\(OA'=\left|x_1\right|=-x_1\) ; \(OB'=\left|x_2\right|=x_2\)

Có \(S_{OAB}=S_{A'ABB'}-S_{OAA'}-S_{OBB'}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3m}{2}=\dfrac{1}{2}.A'B'\left(AA'+BB'\right)-\dfrac{1}{2}.OA'.AA'-\dfrac{1}{2}.OB'.BB'\)

\(\Leftrightarrow3m=\left(-x_1+x_2\right)\left(2x^2_1+2x^2_2\right)+x_1.2x^2_1-x_2.2x^2_2\)

\(\Leftrightarrow3m=-2x_1^3-2x_1.x_2^2+2x_1^2.x_2+2x_2^3+2x_1^3-2x_2^3\)

\(\Leftrightarrow3m=2x_1x_2\left(x_1-x_2\right)\)

\(\Leftrightarrow3m=2.\left(-\dfrac{1}{2}\right).-\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2}\) (do x₁<x₂ =>x₁-x₂<0)

\(\Leftrightarrow3m=\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}\)\(=\sqrt{\left(\dfrac{m}{2}\right)^2-4.\left(-\dfrac{1}{2}\right)}\)\(=\sqrt{\dfrac{m^2}{4}+2}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ge0\\9m^2=\dfrac{m^2}{4}+2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ge0\\m^2=\dfrac{8}{35}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow m=\dfrac{2\sqrt{70}}{35}\)

Vậy...

(Bạn kiểm tra lại xem, có thể mk sẽ tính nhầm nhưng dạng làm vẫn như thế)

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2-mx+2m-4=0\)

\(\Delta=\left(-m\right)^2-4\left(2m-4\right)\)

\(=m^2-8m+16=\left(m-4\right)^2\)

Để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt thì m-4<>0

hay m<>4

Ta có: \(x_1^2+x_2^2\)

\(=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

\(=m^2-2\left(2m-4\right)\)

\(=m^2-4m+8\)

\(=\left(m-2\right)^2+4\ge4\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi m=2

Pt hoành độ giao điểm: \(x^2-mx+m-1=0\)

\(a+b+c=0\Rightarrow\) pt luôn có 2 nghiệm: \(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=m-1\end{matrix}\right.\)

Để pt có 2 nghiệm pb \(\Rightarrow m-1\ne1\Rightarrow m\ne2\)

Do hiển nhiên \(1< 2\)  nên \(x_1< x_2< 2\Rightarrow m-1< 2\)

\(\Rightarrow m< 3\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ne2\\m< 3\end{matrix}\right.\)