Đường tròn C có tâm I (3,-2) và bán kính R=3 . Viết phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ∆:=x-y-1=0
Cho đường tròn C có phương trình: x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0
a, Tìm tọa độ tâm và bán kính của (C)
b, Viết phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm A(-1; 0)
c, Viết phương trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với đường thẳng: 3x – 4y + 5 = 0.
a) x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0
⇔ (x2 – 4x + 4) + (y2 + 8y + 16) = 25
⇔ (x – 2)2 + (y + 4)2 = 25.
Vậy (C) có tâm I(2 ; –4), bán kính R = 5.
b) Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường tròn ta thấy:
(–1 – 2)2 + (0 + 4)2 = 32 + 42 = 52= R2
⇒ A thuộc đường tròn (C)
⇒ tiếp tuyến (d’) cần tìm tiếp xúc với (C) tại A
⇒ (d’) là đường thẳng đi qua A và vuông góc với IA
⇒ (d’) nhận là một vtpt và đi qua A(–1; 0)
⇒ phương trình (d’): 3(x + 1) – 4(y - 0)= 0 hay 3x – 4y + 3 = 0.
c) Gọi tiếp tuyến vuông góc với (d) : 3x – 4y + 5 = 0 cần tìm là (Δ).
(d) có là một vtpt; 1 VTCP là ud→(4; 3)
(Δ) ⊥ (d) ⇒ (Δ) nhận là một vtpt
⇒ (Δ): 4x + 3y + c = 0.
(C) tiếp xúc với (Δ) ⇒ d(I; Δ) = R
Vậy (Δ) : 4x + 3y + 29 = 0 hoặc 4x + 3y – 21 = 0.
Viết phương trình của đường tròn (C) trong mỗi trường hợp sau:
a) Có tâm I(-2; 5) và bán kính R= 7;
b) Có tâm I(1;-2) và đi qua điểm A(-2, 2);
c) Có đường kính AB, với A(-1; -3), B(-3; 5);
d) Có tâm I(1; 3) và tiếp xúc với đường thẳng x+2y +3 = 0.
a) Phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) là: \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 49\).
b) Bán kính đường tròn là: \(R = IA = \sqrt {{{\left( { - 2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - \left( { - 2} \right)} \right)}^2}} = 5\)
Phương trình đường tròn là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25\)
c) Gọi \(I\left( {a;b} \right)\) là trung điểm AB. Vậy tọa độ điểm I là: \(I\left( { - 2;1} \right)\)
Bán kính đường tròn là: \[R = IA = \sqrt {{{\left( { - 1 + 2} \right)}^2} + {{\left( { - 3 - 1} \right)}^2}} = \sqrt {17} \]
Phương trình đường tròn là: \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 17\)
d) Bán kính đường tròn là: \(R = \frac{{\left| {1 + 2.3 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = 2\sqrt 5 \)
Phương trình đường tròn là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 20\)
Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy, cho đường thẳng (∆): 2x+y+3=0 và hai điểm A(-5;1), B(-2;4) 1. Viết phương trình đường tròn C đi qua A,B và có tâm I∈ (∆). 2. Viết phương trình đường tiếp tuyến tại A với đường tròn C. 3. Viết phương trình các tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến đi qua D(1;2). Tìm toạ độ tiếp điểm. Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm I(-2;1) và đường thẳng d: 3x-4y=0 a. Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng d. b. Viết phương trình tập hợp các điểm mà qua các điểm đó vẽ được hai tiếp tuyến đến (C) sao cho hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Bài 2:
a: \(R=d\left(I;d\right)=\dfrac{\left|-2\cdot3+1\cdot\left(-4\right)\right|}{\sqrt{3^2+\left(-4\right)^2}}=2\)
Phương trình (C) là:
(x+2)^2+(y-1)^2=2^2=4
Bài 1:
a: I thuộc Δ nên I(x;-2x-3)
IA=IB
=>IA^2=IB^2
=>\(\left(x+5\right)^2+\left(-2x-3-1\right)^2=\left(x+2\right)^2+\left(-2x-3-4\right)^2\)
=>x^2+10x+25+4x^2+16x+16=x^2+4x+4+4x^2+28x+49
=>26x+41=32x+53
=>-6x=-12
=>x=2
=>I(2;-7): R=IA=căn 113
Phương trình (C) là:
(x-2)^2+(y+7)^2=113
2: vecto IA=(7;-8)
Phương trình tiếp tuyến là:
7(x+5)+(-8)(y-1)=0
=>7x+35-8y+8=0
=>7x-8y+43=0
lập phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng \(\Delta\) \(x+2y+3=0\), có bán kính \(R=\sqrt{2}\) và tiếp xúc với đường thẳng d : \(x-y+1=0\)
Do tâm (C) thuộc \(\Delta\) nên có dạng: \(I\left(-2a-3;a\right)\)
\(d\left(I;d\right)=R\Leftrightarrow\dfrac{\left|-2a-3-a+1\right|}{\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2}}=\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow\left|3a+2\right|=2\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\\a=-\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}I\left(-3;0\right)\\I\left(-\dfrac{1}{3};-\dfrac{4}{3}\right)\end{matrix}\right.\)
Có 2 đường tròn thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}\left(x+3\right)^2+y^2=2\\\left(x+\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(y+\dfrac{4}{3}\right)^2=2\end{matrix}\right.\)
Trong mặt phẳng Oxy, (C) tâm I bán kính R = 2. Lấy M trên đường thẳng d: x+y=0. Từ M kẻ 2 tiếp tuyến MA,MB đến (C) ( A, B là tiếp điểm). Biết phương trình đường thẳng AB: 3x+y-2=0 và khoảng cách từ tâm I đến d = 2 căn 2 . Viết ptrinh đường tròn (C)
Cho đường tròn (C): (x-1)2 + (y+2)2=5 và M (3;-1)
a. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M
b.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: x+2y-1=0
a, Phương trình tiếp tuyến đi qua M: \(ax+by-3a+b=0\left(\Delta\right)\)
Đường tròn đã cho có tâm \(I=\left(1;-2\right)\) bán kính \(R=\sqrt{5}\)
Ta có: \(d\left(I;\Delta\right)=\dfrac{\left|a-2b-3a+b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sqrt{5}\)
\(\Leftrightarrow\left(2a+b\right)^2=5\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2b\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a=2b\)
\(\Rightarrow\Delta:2x+y-5=0\)
b, Phương trình tiếp tuyến: \(\left(d\right)2x-y+m=0\left(m\in R\right)\)
Ta có: \(d\left(I;d\right)=\dfrac{\left|2.1-1.\left(-2\right)+m\right|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\)
\(\Leftrightarrow\left|m+4\right|=5\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-9\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}d:2x-y+1=0\\d:2x-y-9=0\end{matrix}\right.\)
Cho đường tròn (C) có phương trình \({x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 12 = 0\) .
a) Tìm toạ độ tâm I và bán kính R của (C).
b) Chứng minh rằng điểm M(5; 1) thuộc (C). Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M.
a) Ta có \(I\left( {2; - 3} \right)\) và \(R = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} - \left( { - 12} \right)} = 5\)
b) Ta có: \({5^2} + {1^2} - 4.5 + 6.1 - 12 = 0\). Suy ra M thuộc \(\left( C \right)\). Tiếp tuyến d của (C) tại M có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_d}} = \overrightarrow {IM} = \left( {3;4} \right)\), đồng thời d đi qua điểm \(M\left( {5;1} \right)\).
Vậy phương trình của d là \(3\left( {x - 5} \right) + 4\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 19 = 0\).
Lập phương trình đường tròn trong mỗi trường hợp sau:
a) Đường tròn có tâm I(- 3 ; 4) bán kính R = 9;
b) Đường tròn có tâm I(5 ;-2) và đi qua điểm M(4;- 1);
c) Đường tròn có tâm I(1;- 1) và có một tiếp tuyến là A: 5x- 12y – 1 = 0;
d) Đường tròn đường kính AB với A(3;-4) và B(-1; 6);
e) Đường tròn đi qua ba điểm A(1;1), B(3; 1), C(0; 4).
a) Phương trình đường tròn là: \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 81\)
b) Bán kính đường tròn là: \(R = IM = \sqrt {{{\left( {4 - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 1 + 2} \right)}^2}} = \sqrt 2 \)
Phương trình đường tròn là: \({\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 2\)
c) Bán kính đường tròn là: \(R = \frac{{\left| {5.1 - 12.\left( { - 1} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} }} = \frac{{16}}{{13}}\)
Phương trình đường tròn là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = {\left( {\frac{{16}}{{13}}} \right)^2}\)
d) Gọi \(I\left( {a;b} \right)\) là trung điểm AB. Vậy tọa độ điểm I là: \(I\left( {1;1} \right)\)
Bán kính đường tròn là: \(R = IA = \sqrt {{{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 4 - 1} \right)}^2}} = \sqrt {29} \)
Phương trình đường tròn là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 29\)
e) Giả sử tâm đường tròn là điểm \(I\left( {a;b} \right)\). Ta có: \(IA = IB = IC \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2} = I{C^2}\)
Vì \(I{A^2} = I{B^2},I{B^2} = I{C^2}\) nên: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {1 - b} \right)^2} = {\left( {3 - a} \right)^2} + {\left( {1 - b} \right)^2}\\{\left( {3 - a} \right)^2} + {\left( {1 - b} \right)^2} = {\left( {0 - a} \right)^2} + {\left( {4 - b} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right.\) b
Vậy \(I\left( {2;3} \right)\) và \(R = IA = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = \sqrt 5 \)
Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A,B, C là: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5\)
Cho đường tròn (C) có phương trình:
x2 + y2 – 4x + 8y – 5 = 0
a) Tìm tọa độ tâm và bán kính của (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm A(-1; 0)
c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với đường thẳng 3x – 4y + 5 = 0
a) Tâm I(2 ; -4), R = 5
b) Đường tròn có phương trình: (x – 2 )2 + (y + 4)2 = 25
Thế tọa độ A(-1 ; 0) vào vế trái, ta có :
(-1- 2 )2 + (0 + 4)2 = 32 + 42 = 25
Vậy A(-1 ;0) là điểm thuộc đường tròn.
Áp dụng công thức tiếp tuyến (Xem sgk)
Ta được pt tiếp tuyến với đường tròn tai A là:
(-1 – 2)(x – 2) + (0 + 4)(y + 4) = 25 <=> 3x – 4y + 3 = 0
Chú ý:
1. Theo tính chất tiếp tuyến với đường tròn tại 1 điểm thuộc đường tròn thì vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm, ta có thể giải câu này như sau:
Vectơ = (-3; 4)
Tiếp tuyến đi qua A(-1; 0) và nhận làm một vectơ pháp tuyến có phương trình:
-3(x + 1) + 4(y – 0) = 0 ,<=> 3x – 4y + 3 = 0