a: \(y=\sqrt{2}sin\left(x+\dfrac{pi}{4}\right)\)

\(-1< =sin\left(x+\dfrac{pi}{4}\right)< =1\)

=>\(-\sqrt{2}< =y< =\sqrt{2}\)

\(y_{min}=-\sqrt{2}\) khi sin(x+pi/4)=-1

=>x+pi/4=-pi/2+k2pi

=>x=-3/4pi+k2pi

\(y_{max}=\sqrt{2}\) khi sin(x+pi/4)=1

=>x+pi/4=pi/2+k2pi

=>x=pi/4+k2pi

b: \(y=sinx\cdot cos\left(\dfrac{pi}{3}\right)+cosx\cdot sin\left(\dfrac{pi}{3}\right)+3\)

\(=sin\left(x+\dfrac{pi}{3}\right)+3\)

-1<=sin(x+pi/3)<=1

=>-1+3<=sin(x+pi/3)+3<=4

=>2<=y<=4

y min=2 khi sin(x+pi/3)=-1

=>x+pi/3=-pi/2+k2pi

=>x=-5/6pi+k2pi

y max=4 khi sin(x+pi/3)=1

=>x+pi/3=pi/2+k2pi

=>x=pi/6+k2pi

c: \(y=2\cdot\left(sin2x\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}-cos2x\cdot\dfrac{1}{2}\right)\)

\(=2sin\left(2x-\dfrac{pi}{6}\right)\)

-1<=sin(2x-pi/6)<=1

=>-2<=y<=2

y min=-2 khi sin(2x-pi/6)=-1

=>2x-pi/6=-pi/2+k2pi

=>2x=-1/3pi+k2pi

=>x=-1/6pi+kpi

y max=2 khi sin(2x-pi/6)=1

=>2x-pi/6=pi/2+k2pi

=>2x=2/3pi+k2pi

=>x=1/3pi+kpi

ĐKXĐ: \(x\ne\dfrac{k\pi}{2}\)

\(\dfrac{\sqrt{3}}{cos^2x}+2+\dfrac{2}{sinx.cosx}-2\sqrt{3}=2\left(\dfrac{1}{tanx}+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{3}\left(1+tan^2x\right)+\dfrac{\dfrac{2}{cos^2x}}{\dfrac{sinx.cosx}{cos^2x}}+2-2\sqrt{3}=2\left(\dfrac{1}{tanx}+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{3}tan^2x+\dfrac{2\left(1+tan^2x\right)}{tanx}+2-\sqrt{3}=\dfrac{2}{tanx}+2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{3}tan^3x+2\left(1+tan^2x\right)-\sqrt{3}tanx=2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{3}tan^3x+2tan^2x-\sqrt{3}tanx=0\)

\(\Leftrightarrow...\)

1/ Để hàm số y = √cos^2(x) + cos(x) - 2m + 1 xác định trên R, ta cần điều kiện để biểu thức trong căn dương: cos^2(x) + cos(x ) - 2m + 1 > 0 Để giải phương trình này, ta sử dụng một số phép biến đổi: cos^2(x) + cos(x) - 2m + 1 = (cos(x) + 2)(cos(x) - m + 1) Điều kiện để biểu thức trên dương là: cos(x) + 2 > 0 và cos(x) - m + 1 > 0 Với cos(x) + 2 > 0, ta có -2 < cos( x) < 0 Với cos(x) - m + 1 > 0, ta có m - 1 < cos(x) < 1 Tổng Hàm, để hàm số y = √cos^2(x) + cos(x) - 2m + 1 xác định trên R, tham số m phải đáp ứng điều kiện -2 < cos(x) < 0 và m - 1 < cos(x) < 1. 2/ Để hàm số y = √cos^2(x) - 2cos(x) + m xác định trên R, ta cần điều kiện để biểu thức trong căn dương: cos^2(x) - 2cos(x) + m > 0 Đây là một phương trình bậc hai theo cos(x). Để giải phương trình này, ta sử dụng công thức delta: Δ = b^2 - 4ac Ở đây, a = 1, b = -2, c = m. Ta có: Δ = (-2)^2 - 4(1)(m) = 4 - 4m = 4(1 - m) Để phương trình có nghiệm thì Δ > 0. Tức là 1 - m > 0 hay m < 1. Tổng quát, để hàm số y = √cos^2(x) - 2cos(x) + m xác định trên R, tham số m phải đáp ứng m < 1. 3/ Để hàm số y = √sin^ 4 (x) + cos^4(x) - sin^2(x) - m xác định trên R, ta cần điều kiện để biểu thức trong căn dương: sin^4(x) + cos^4(x) - sin ^2(x) - m > 0 Đây cũng là một phương trình bậc hai theo sin(x). Ta sử dụng công thức delta as on, with a = 1, b = -1, c = -m. Δ = (-1)^2 - 4(1)(-m) = 1 + 4m = 4m + 1 Để phương trình có nghiệm thì Δ > 0. Tức là m > -1/4. Tổng quát, để hàm số y = √sin^4(x) + cos^4(x) - sin^2(x) - m xác định trên R, tham số m phải thỏa mãn m > -1/4.

\(y=\sqrt{3}sin2x-cos2x=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\dfrac{1}{2}cos2x\right)=2sin\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)\)

Do \(-1\le sin\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)\le1\Rightarrow-2\le y\le2\)

\(y_{max}=2\) khi \(sin\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)=1\)

\(y_{min}=-2\) khi \(sin\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)=-1\)

1.

\(\frac{1}{2}cos2x-\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Leftrightarrow cos\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{4}+k2\pi\\2x+\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{4}+k2\pi\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\frac{\pi}{24}+k\pi\\x=-\frac{7\pi}{24}+k\pi\end{matrix}\right.\)

2.

\(2\left(1-cosx\right)-3\sqrt{3}sinx-\left(1+cosx\right)=4\)

\(\Leftrightarrow cosx+\sqrt{3}sinx=-1\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}cosx+\frac{\sqrt{3}}{2}sinx=-\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}+k2\pi\\x-\frac{\pi}{3}=-\frac{2\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow...\)

3.

\(4sinx.cosx-2sinx+1-2cosx=0\)

\(\Leftrightarrow2sinx\left(2cosx-1\right)-\left(2cosx-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2sinx-1\right)\left(2cosx-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=\frac{1}{2}\\cosx=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{6}+k2\pi\\x=\frac{5\pi}{6}+k2\pi\\x=\pm\frac{\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\)

4.

\(cosx-sinx=t\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left|t\right|\le\sqrt{2}\\-4sinx.cosx=2t^2-2\end{matrix}\right.\)

Pt trở thành: \(t+2t^2-2-1=0\Leftrightarrow2t^2+t-3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\\t=-\frac{3}{2}< -\sqrt{2}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\sqrt{2}cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-1\)

\(\Leftrightarrow cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+k2\pi\\x+\frac{\pi}{4}=-\frac{3\pi}{4}+k2\pi\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow...\)

5.

\(\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x=sinx\)

\(\Leftrightarrow sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=sinx\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x+\frac{\pi}{6}=x+k2\pi\\2x+\frac{\pi}{6}=\pi-x+k2\pi\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow...\)

6.

\(9sin^2x-5\left(1-sin^2x\right)-5sinx+4=0\)

\(\Leftrightarrow14sin^2x-5sinx-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=\frac{1}{2}\\sinx=-\frac{1}{7}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{6}+k2\pi\\x=\frac{5\pi}{6}+k2\pi\\x=arcsin\left(-\frac{1}{7}\right)+k2\pi\\x=\pi-arcsin\left(-\frac{1}{7}\right)+k2\pi\end{matrix}\right.\)

`cos 2x+\sqrt{3}sin 2x+\sqrt{3}sin x-cos x=4`

`<=>1/2 cos 2x+\sqrt{3}/2 sin 2x+\sqrt{3}/2 sin x-1/2 cos x=2`

`<=>sin(\pi/6 +2x)+sin(x-\pi/6)=2`

Vì `-1 <= sin (\pi/6 +2x) <= 1`

     `-1 <= sin (x-\pi/6) <= 1`

 Dấu "`=`" xảy ra `<=>{(sin(\pi/6+2x)=1),(sin(x-\pi/6)=1):}`

        `<=>{(\pi/6+2x=\pi/2+k2\pi),(x-\pi/6=\pi/2+k2\pi):}`

        `<=>{(x=\pi/6+k\pi),(x=[2\pi]/3+k2\pi):}`    `(k in ZZ)`