1: a chia 3 dư 2 nên a=3k+2

4a+1=4(3k+2)+1

=12k+8+1

=12k+9=3(4k+3) chia hết cho 3

2:

a: 36 chia hết cho 3x+1

=>\(3x+1\in\left\{1;-1;2;-2;3;-3;4;-4;6;-6;9;-9;12;-12;18;-18;36;-36\right\}\)

mà x là số tự nhiên

nên 3x+1 thuộc {1;4}

=>x thuộc {0;1}

b: 2x+9 chia hết cho x+2

=>2x+4+5 chia hết cho x+2

=>5 chia hết cho x+2

=>x+2 thuộc {1;-1;5;-5}

=>x thuộc {-1;-3;3;-7}

mà x thuộc N

nên x=3

1,\(T=a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=20\left(a^2-ab+b^2\right)=\)

\(=10\left(a^2-2ab+b^2\right)+10\left(a^2+b^2\right)\)

\(\ge10\left(a-b\right)^2+5.\left(a+b\right)^2\ge0+5.20^2=2000\)

2,a,\(\sqrt{a}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-2}=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{a}+b-2\sqrt{b-1}+c-2\sqrt{c-2}=0\)

\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{a}+1+b-1-2\sqrt{b-1}+1+c-2+2\sqrt{c-2}+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-1\right)^2+\left(\sqrt{b-1}-1\right)^2+\left(\sqrt{c-2}-1\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=2\\c=3\end{cases}}\)

b,sai đề

Xét \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\Rightarrow10\ge\sqrt{ab}\Leftrightarrow100\ge ab\)

\(T=a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=20\left(a^2-ab+b^2\right)=20\left[a^2+2ab+b^2-3ab\right]=20\left(20\right)^2-6ab\)

\(T\ge20.20^2-6.100=7400\)

b. \(1=\left(a+2b\right)^2\ge4.a.2b=8ab\)

\(\Rightarrow ab\le\frac{1}{8}\)

Dấu = xảy ra khi \(a=\frac{1}{2}\);\(b=\frac{1}{8}\)

1/ \(4\left(a^2-ab+b^2\right)⋮3\)

\(\Rightarrow\left(2a-b\right)^2+3b^2⋮3\)

\(\Rightarrow\left(2a-b\right)^2⋮3\)

\(\Rightarrow2a-b⋮3\)

\(\Rightarrow\left(2a-b\right)^2⋮9\)

\(\Rightarrow3b^2⋮9\)

\(\Rightarrow b⋮3\)

\(\Rightarrow a⋮3\)

Câu 2 làm hoi dài nên lười

Câu 2 em nghĩ là dùng dồn biến.Câu 2 nếu làm kỹ sẽ rất dài do đó em làm khá tắt, vì vậy không thể tránh khỏi những sai sót khi quy đồng, chị tự kiểm tra lại:P

Giả sử c = min{a,b,c} suy ra \(1\ge3c^2+2c^3\Leftrightarrow0< c\le\frac{1}{2}\)

Chọn t > 0 thỏa mãn: \(2t^2+2t^2c=a^2+b^2+2abc\Leftrightarrow2t^2-\left(a^2+b^2\right)=2c\left(ab-t^2\right)\)

Giả sử \(ab>t^2\Rightarrow2t^2>a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow t^2>ab\) (trái với giả us73)

Vậy giả sử sai hay \(ab\le t^2\text{ và }a^2+b^2\ge2t^2\ge2ab\)

Đặt \(f\left(a;b;c\right)=ab+bc+ca-abc\)

Xét hiệu \(d=f\left(a;b;c\right)-f\left(t;t;c\right)\)

\(=\left(ab-t^2\right)+c\left(a+b-2t\right)-c\left(ab-t^2\right)\)

\(=\left(1-c\right)\left(ab-t^2\right)+\frac{c\left(a^2+b^2-2t^2\right)+2c\left(ab-t^2\right)}{a+b+2t}\)

\(=\left(1-c\right)\left(ab-t^2\right)+\frac{\left(2t^2-\left(a^2+b^2\right)\right)-c\left(2t^2-\left(a^2+b^2\right)\right)}{a+b+2t}\)

\(=\frac{\left(1-c\right)\left(2t^2-\left(a^2+b^2\right)\right)}{2c}+\frac{\left(2t^2-\left(a^2+b^2\right)\right)-c\left(2t^2-\left(a^2+b^2\right)\right)}{a+b+2t}\)

\(=\frac{\left(1-c\right)\left(2t^2-\left(a^2+b^2\right)\right)}{2c}+\frac{\left(2t^2-\left(a^2+b^2\right)\right)\left(1-c\right)}{a+b+2t}\)

\(=\left(1-c\right)\left(2t^2-\left(a^2+b^2\right)\right)\left[\frac{1}{2c}+\frac{1}{a+b+2t}\right]\le0\)

Do đó \(f\left(a;b;c\right)\le f\left(t;t;c\right)=t^2+2tc-t^2c\). Ta cần tìm max của f(t;t;c). Mặt khác từ cách chọn t ta thấy:

\(2t^2+c^2+2t^2c=1\Leftrightarrow t=\sqrt{\frac{1-c}{2}}\). Do đó 

\(f\left(t;t;c\right)=\frac{1-c}{2}+2\sqrt{\frac{1-c}{2}}.c-\frac{\left(1-c\right)c}{2}\) với \(0< c\le\frac{1}{2}\)

Dễ thấy f(t;t;c) là hàm đồng biến với \(0< c\le\frac{1}{2}\) nên f(t;t;c) đạt max tại c = 1/2. Khi đó \(f\left(t;t;c\right)=\frac{5}{8}\)

Vậy.....

1) \(\left\{{}\begin{matrix}a^3+b^3+c^3=3abc\\a+b+c\ne0\end{matrix}\right.\)  \(\left(a;b;c\in R\right)\)

Ta có :

\(a^3+b^3+c^3\ge3abc\) (Bất đẳng thức Cauchy)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\left(a^3+b^3+c^3=3abc\right)\)

Thay \(a=b=c\) vào \(P=\dfrac{a^2+2b^2+3c^2}{3a^2+2b^2+c^2}\) ta được

\(\Leftrightarrow P=\dfrac{6a^2}{6a^2}=1\)

\(3^x=y^2+2y\left(x;y>0\right)\)

\(\Leftrightarrow3^x+1=y^2+2y+1\)

\(\Leftrightarrow3^x+1=\left(y+1\right)^2\left(1\right)\)

- Với \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\)

\(pt\left(1\right)\Leftrightarrow3^0+1=\left(0+1\right)^2\Leftrightarrow2=1\left(vô.lý\right)\)

- Với \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\)  

\(pt\left(1\right)\Leftrightarrow3^1+1=\left(1+1\right)^2=4\left(luôn.luôn.đúng\right)\)

- Với \(x>1;y>1\)

\(\left(y+1\right)^2\) là 1 số chính phương

\(3^x+1=\overline{.....1}+1=\overline{.....2}\) không phải là số chính phương

\(\Rightarrow\left(1\right)\) không thỏa với \(x>1;y>1\)

Vậy với \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\) thỏa mãn đề bài