Để PT có hai nghiệm  x 1 ; x 2  thì:  Δ = 25 − 12 m + 4 ≥ 0 ⇔ 29 − 12 m ≥ 0 ⇔ m ≤ 29 12

Ta có:  x 1 3 − x 2 3 + 3 x 1 x 2 = 75 ⇔ ( x 1 − x 2 ) [ ( x 1 + x 2 ) 2 − x 1 x 2 ] + 3 x 1 x 2 − 75 = 0     (*)

Theo định lý Vi-et ta có:  x 1 + x 2 = − 5 x 1 x 2 = 3 m − 1  thay vào (*) ta được

( x 1 − x 2 ) ( 26 − 3 m ) + 3 ( 3 m − 26 ) = 0 ⇔ ( x 1 − x 2 − 3 ) ( 26 − 3 m ) = 0 ⇔ m = 26 3                   x 1 − x 2 − 3 = 0

Kết hợp với điều kiện thì m = 26/3 không thỏa mãn.

Kết hợp  x 1 − x 2 − 3 = 0  với hệ thức Vi - et ta có hệ:  x 1 − x 2 − 3 = 0 x 1 + x 2 = − 5 x 1 x 2 = 3 m − 1 ⇔ x 1 = − 1 x 2 = − 4 m = 5 3        ( t / m ) .

Vậy m = 5/3  là giá trị cần tìm.

Để pt có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta\ge0\Leftrightarrow4-4\left(m-1\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow2\ge m\)

Theo viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(1\right)\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\) 

\(x_1^4-x_1^3=x_2^4-x_2^3\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1^4-x_2^4\right)-\left(x_1^3-x_2^3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2+x_2^2\right)-\left(x_1-x_2\right)\left(x_1^2+x_1x_2+x_2^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left[2\left(x_1^2+x_2^2\right)-x_1^2-x_1x_2-x_2^2\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(x_1^2+x_2^2-x_1x_2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x_1-x_2=0\) (2) ( vì \(x_1^2-x_1x_2+x_2^2>0;\forall x,y\))

Từ (1) (2) \(\Rightarrow x_1=x_2=1\)

\(\Rightarrow x_1x_2=m-1=1\) \(\Leftrightarrow m=2\) (Thỏa)

Vậy...

PT $(*)$ là PT bậc nhất ẩn $x$ thì làm sao mà có $x_1,x_2$ được hả bạn?

PT cuối cũng bị lỗi.

Bạn xem lại đề!

Lời giải:

a) 

Ta có: $\Delta'=m^2-(2m-2)=m^2-2m+2=(m-1)^2+1>0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$

Do đó pt luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ với mọi $m\in\mathbb{R}$

b) 

Áp dụng định lý Viet: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-2m\\ x_1x_2=2m-2\end{matrix}\right.\)

Để $x_1^2+x_2^2-3x_1x_2=4$

$\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-5x_1x_2=4$

$\Leftrightarrow (-2m)^2-5(2m-2)=4$

$\Leftrightarrow 4m^2-10m+6=0$

$\Leftrightarrow 2m^2-5m+3=0$

$\Leftrightarrow (m-1)(2m-3)=0$

$\Rightarrow m=1$ hoặc $m=\frac{3}{2}$ (đều thỏa mãn)

a) xét delta phẩy ta có:

1 + m - 2 = m -1 để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì delta phẩy >0 

=> m-1>0 => m > 1 

b) theo Vi-ét ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x1+x2=2\\x1x2=2-m\end{matrix}\right.\)

theo bài ra ta có: x1² - x2² = 8 

<=> (x1-x2).(x1+x2)= 8 

<=>  2(x1-x2) = 8 <=> x1-x2 = 4 

<=> (x1-x2)² = 16 <=> x1² + x2² - 2x1x2 = 16

<=> (x1+x2)² - 4x1x2 = 16 <=> 4 - 4.(2m - 1 ) = 16 

<=> 4 - 8m + 4 = 16 <=> 8m = -8 

=> m = -1 

vậy m = -1 thỏa mãn x1² - x2² = 8 

Phương trình đã cho có nghiệm phân biệt khi : 

\(\Delta'=m^2-\left(m^2+2m+3\right)=-2m-3>0\)

\(\Leftrightarrow m< -\dfrac{3}{2}\)(*)

Hệ thức Viette : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2m\\x_1x_2=m^2+2m+3\end{matrix}\right.\)

Có \(x_1^3+x_2^3=108\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right).\left(x_1^2-x_1x_2+x_2^2\right)=108\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=108\)

\(\Leftrightarrow-8m^3+6m\left(m^2+2m+3\right)=108\)

\(\Leftrightarrow m^3-6m^2-9m+54=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-6\right).\left(m-3\right).\left(m+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=6\\m=\pm3\end{matrix}\right.\)

Kết hợp (*) được m = -3 thỏa mãn

\(\Delta=25-4m\ge0\Rightarrow m\le\dfrac{25}{4}\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=5\\x_1x_2=m\end{matrix}\right.\)

\(\left|x_1-x_2\right|=3\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=9\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=9\)

\(\Leftrightarrow25-4m=9\Rightarrow m=4\) (thỏa mãn)

Pt có 2 nghiệm

\(\to \Delta=(-5)^2-4.1.m=25-4m\ge 0\\\leftrightarrow 4m\le 25\\\leftrightarrow m\le\dfrac{25}{4}\)

Theo Viét

\(\begin{cases}x_1+x_2=5\\x_1x_2=m\end{cases}\)

\(|x_1-x_2|=3\\\leftrightarrow \sqrt{(x_1-x_2)^2}=3\\\leftrightarrow \sqrt{x_1^2+x_2^2-2x_1x_2}=3\\\leftrightarrow \sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=3\\\leftrightarrow \sqrt{5^2-4m}=3\\\leftrightarrow 25-4m=9\\\leftrightarrow 4m=16\\\leftrightarrow m=4(TM)\)

Vậy \(m=4\) thỏa mãn hệ thức

Phương trình x² – 2(m + 1)x + 2m = 0 có a = 1 ≠ 0 và

∆ ' = ( m + 1 ) 2 – 2 m = m 2 + 1 > 0 ;  m nên phương trình luôn có hai nghiệm x 1 ;   x 2

Theo hệ thức Vi-ét ta có  x 1 + x 2 = 2 m + 1 x 1 . x 2 = 2 m

Xét x 1 3 + x 2 3 = 8   ( x ₁ + x ₂ ) 3   −   3 x 1 . x 2 ( x 1 + x 2 ) = 8

⇔ [ 2 ( m   +   1 ) ] 3   –   3 . 2 m . [ 2 ( m   +   1 ) ]   =   8

  8   ( m 3 + 3 m 2 + 3 m + 1 ) – 6 m ( 2 m + 2 ) = 8 ⇔ 8 m 3 + 12 m 2 + 12 m = 0

⇔ m   ( 2 m 2   + 3 m + 3 ) = 0

⇔ m = 0 2 m 2 + 3 m + 3 = 0

Phương trình 2 m 2 + 3 m + 3 = 0   c ó   ∆ 1 = 3 2 – 4 . 2 . 3 = − 15 < 0 nên phương trình này vô nghiệm

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm

Đáp án: C