ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}2x-3a+4\ge0\\x+a-1\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{3a-4}{2}\\x\ne-a+1\end{matrix}\right.\)

Hàm xác định với mọi \(x>2\) khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3a-4}{2}< 2\\-a+1\le2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a< \dfrac{8}{3}\\a\ge-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-1\le a< \dfrac{8}{3}\)

Đề bài sai nhé, từ giả thiết chỉ xác định được \(x+y=0\Rightarrow y=-x\)

\(\Rightarrow A=4x^2-x^2+x^2+15=4x^2+15\) ko rút gọn được

1.

Điều kiện xác định của căn thức: \(\left[{}\begin{matrix}x\ge3\\x\le-3\end{matrix}\right.\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+1}-x}{\sqrt{x^2-9}-4}=\dfrac{1-1}{1}=0\Rightarrow y=0\) là 1 TCN

\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{\sqrt{x^2+1}-x}{\sqrt{x^2-9}-4}=\dfrac{-1-1}{-1}=2\Rightarrow y=2\) là 1 TCN

\(\lim\limits_{x\rightarrow-5}\dfrac{\sqrt{x^2+1}-x}{\sqrt{x^2-9}-4}=\dfrac{\sqrt{26}+5}{0}=+\infty\Rightarrow x=-5\) là 1 TCĐ

\(\lim\limits_{x\rightarrow5}\dfrac{\sqrt{x^2+1}-x}{\sqrt{x^2-9}-4}=\dfrac{\sqrt{26}-5}{0}=+\infty\Rightarrow x=5\) là 1 TCĐ

Hàm có 4 tiệm cận

2.

Căn thức của hàm luôn xác định

Ta có:

\(\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{2x-1-\sqrt{x^2+x+3}}{x^2-5x+6}=\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{\left(2x-1\right)^2-\left(x^2+x+3\right)}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(2x-1+\sqrt{x^2+x+3}\right)}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{\left(x-2\right)\left(3x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(2x-1+\sqrt{x^2+x+3}\right)}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{3x+1}{\left(x-3\right)\left(2x-1+\sqrt{x^2+x+3}\right)}=\dfrac{-7}{6}\) hữu hạn

\(\Rightarrow x=2\) ko phải TCĐ

\(\lim\limits_{x\rightarrow3}\dfrac{2x-1-\sqrt{x^2+x+3}}{x^2-5x+6}=\dfrac{5-\sqrt{15}}{0}=+\infty\)

\(\Rightarrow x=3\) là tiệm cận đứng duy nhất

Để hàm số y xác định thì \(x-a\ge0;2x-a-1\ge0\), với mọi x dương.
Xét hàm số y = x - a, với \(x\ge0.\)
 Min y = 0 - a = -a, khi x = 0.
Để \(x-a\ge0,\)với mọi x > 0 thì min \(y=-a\ge0\)hay \(a\le0.\)(1)
Xét hàm số: \(y=2x-a-1\)
Tương tự Min y = -a - 1, khi x = 0.
Để \(2x-a-1\ge0,\)với x > 0 thì min y = - a - 1 \(-a-1\ge0\Leftrightarrow a\le-1\). (2)
Kết hợp điều kiện (1) và (2) ta có:\(a\le-1\)là thỏa mãn đề bài.
Đây là lời giải dựa theo phương pháp " nhìn vấn đề theo quan điểm cực trị " ngoài ra các bạn có thể dùng hàm số đồng biến cũng lập luận gần giống.
Chú ý: x = 0 ta vẫn xét nhưng hiểu được thì các em pahir học qua hàm số liên tục ở lớp 11.
 

Hàm số y xác định khi: \(\hept{\begin{cases}x+a-1\ne0\\2x-3a+4\ge0\end{cases}}\)

Xét hàm số: \(y=2x-3a+4\), \(x\ge0.\)
Hàm số y = 2x - 3a + 4 có hệ số a = 2 > 0 nên đồng biên trên R.
f(0) = -3a + 4
Suy ra: \(f\left(x\right)>f\left(0\right)\)với mọi x dương.
Để \(f\left(x\right)\ge0,\)với mọi x dương thì \(f\left(0\right)\ge0\Leftrightarrow-3a+4\ge0\Leftrightarrow a\le\frac{3}{4}.\)(1)
Xét: \(x+a-1\ne0\Leftrightarrow x\ne1-a.\)
Để y xác định với mọi x dương thì \(1-a\le0\Leftrightarrow a\ge1.\)(2)
Kết hợp (1) và  (2) ta nhận thấy không có a thỏa mãn.

 

1.A. Ta thấy để hàm số xác định thì x-m\(\ne\)0 hay x\(\ne\)m mà vì x\(\in\)(0,1) nên để x\(\ne\)m thì m\(\notin\)(0,1)=>m>=1 hoặc m<=0

2A để A giao B khác 0 thì 2m-1<=m+3 hay m<=4

3C.A giao B =A khi \(\left\{{}\begin{matrix}m< =-1\\m+5>=3\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< =1\\m>=-2\end{matrix}\right.\)

A = \(\frac{8\sqrt{41}}{2\sqrt{2^2+2.2.\sqrt{41}+\sqrt{41}^2}}\)

A = \(\frac{8\sqrt{41}}{2\sqrt{\left(2+\sqrt{41}\right)^2}}\)

A = \(\frac{8\sqrt{41}}{2\left|2+\sqrt{41}\right|}\)

A = \(\frac{8\sqrt{41}}{4+2\sqrt{41}}\)

B = \(\left(\frac{2x+1}{\sqrt{x}^3+1^3}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}\right):\frac{x+\sqrt{x}+1+x+4}{x+\sqrt{x}+1}\)

B = \(\left(\frac{2x+1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}\right).\frac{x+\sqrt{x}+1}{2x+\sqrt{x}+5}\)

Bạn tự làm tiếp nhé, mỏi tay quá!!

\(A=\frac{8\sqrt{41}}{2\sqrt{45+4\sqrt{41}}}=\frac{8\sqrt{41}}{2\sqrt{41+4\sqrt{41}+4}}=\frac{8\sqrt{41}}{2\sqrt{\left(\sqrt{41}\right)^2+2\cdot\sqrt{41}\cdot2+2^2}}\)

\(=\frac{8\sqrt{41}}{2\sqrt{\left(\sqrt{41}+2\right)^2}}=\frac{8\sqrt{41}}{2\left(\sqrt{41}+2\right)}=\frac{8\sqrt{41}\left(\sqrt{41}-2\right)}{2\left(41-4\right)}=\frac{328-16\sqrt{41}}{74}=\frac{164-8\sqrt{41}}{37}\)

\(B=\left(\frac{2x+1}{x\sqrt{x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}\right):\left(1-\frac{x+4}{x+\sqrt{x}+1}\right)\)

\(=\left(\frac{2x+1}{\sqrt{x}^3+1^3}-\frac{x+\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\right):\left(\frac{x+\sqrt{x}+1-x-4}{x+\sqrt{x}+1}\right)\)

\(=\left(\frac{2x+1-x-\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\right):\left(\frac{\sqrt{x}-3}{x+\sqrt{x}+1}\right)\)

\(=\frac{x-\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\cdot\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\)

\(=\frac{x-\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+3\right)}{x-9}=\frac{x+3\sqrt{x}}{x-9}\)

a: \(A=\dfrac{2x+2+x+\sqrt{x}+1-x+\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}\)

\(=\dfrac{2x+2\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}\)

b: \(A-5=\dfrac{2x-4\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}=\dfrac{2\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\sqrt{x}}>=0\)

=>A>=5