\(m^3+n^3+p^3-3mnp=\left(m^3+3m^2n+3mn^2+n^3\right)+p^3-3mnp-3m^2n-3mn^2=\left(m+n\right)^3+p^3-3mn\left(m+n+p\right)\)

\(=\left(m+n+p\right)\left[\left(m+n\right)^2-\left(m+n\right)p-p^2\right]-3mn\left(m+n+p\right)\)

\(=\left(m+n+p\right)\left(m^2+2mn+n^2-mp-np-p^2\right)-3mn\left(m+n+p\right)\)

\(=\left(m+n+p\right)\left(m^2+2mn+n^2-mp-np-p^2-3mn\right)\)

\(=\left(m+n+p\right)\left(m^2+n^2+p^2-mn-np-mp\right)\)

1. Theo đầu bài ta có:
\(x^3+3xy+y^3\)
\(=\left(x^3+y^3\right)+3xy\)
\(=\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)+3xy\)
Do x + y = 1 nên:
\(=\left(x^2+y^2-xy\right)+3xy\)
\(=x^2+y^2+\left(3xy-xy\right)\)
\(=x^2+y^2+2xy\)
\(=\left(x+y\right)^2\)
Do x + y = 1 nên:
\(=1^2=1\)

2. Theo đầu bài ta có:
\(m+n+p=15\)
\(\Rightarrow\left(m+n+p\right)^2=15^2\)
\(\Rightarrow m^2+n^2+p^2+2mn+2np+2mp=225\)
Do m² + n² + p² = 77 nên:
\(\Rightarrow77+2\left(mn+np+mp\right)=225\)
\(\Rightarrow2\left(mn+np+mp\right)=225-77\)
\(\Rightarrow mn+np+mp=\frac{148}{2}\)
\(\Rightarrow mn+np+mp=74\)

\(m^3+n^3+p^3-3nmp\)

\(=\left(m+n\right)^3+p^3-3mn\left(m+n\right)-3mnp\)

\(=\left(m+n+p\right)\left(m^2+2mn+n^2-pm-pn+p^2\right)-3mn\left(m+n+p\right)\)

\(=\left(m+n+p\right)\left(m^2+n^2+p^2-pm-pn-mn\right)\)

\(a)\) Ta có : 

\(\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2\)

\(\Rightarrow\)\(a^2+b^2=\left(a+b\right)^2-2ab\)

Thay \(a+b=23\) và \(ab=132\) vào \(a^2+b^2=\left(a+b\right)^2-2ab\) ta được : 

\(a^2+b^2=23^2-2.132\)

\(a^2+b^2=529-264\)

\(a^2+b^2=265\)

Vậy \(a^2+b^2=265\)

Chúc bạn học tốt ~ 

a,\(a^2+b^2=\left(a+b\right)^2-2ab\)

thay a+b=23 và ab=132 vào tính nhé

b,theo đề ra ta có \(x+y=1\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3=1\Leftrightarrow x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)=1\)(1)

                                                                                      thay x+y=1 vào  (1)

ta đc \(x^3+y^3+3xy=1\)

bài 2

theo đề ra ta có           \(\left(m+n+p\right)^2=255\Leftrightarrow m^2+n^2+p^2+2\left(mn+np+mp\right)=225\)(1)

                                                                                         thay \(m^2+n^2+p^2=77\) vào(1)

                                                                   =>mn+np+mp=74

\(b)\) Ta có : 

\(x+y=1\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y\right)^3=1^3\)

\(\Leftrightarrow\)\(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3=1\)

\(\Leftrightarrow\)\(x^3+3xy\left(x+y\right)+y^3=1\)

\(\Leftrightarrow\)\(x^3+3xy.1+y^3=1\)

\(\Leftrightarrow\)\(x^3+3xy+y^3=1\)

Vậy \(x^3+3xy+y^3=1\)

Chúc bạn học tốt ~ 

=> (m+n+p)²=15²=225

=> (m+n+p)²= m²+n²+p²+2(mn+np+pm)=225

=> 77 + 2(mn+np+pm)=225

=> 2(mn+np+pm)=225 - 77 =148

=> mn+np+pm= 148 : 2 = 74

tối mk làm ,bây giờ bận rùi , bye, mk xem rùi, đề k sai

m+n+p=15=>(m+n+p)^2=225

(m^2+n^2+p^2+mn+mp+np)=225

77+mn+mp+np=225

mn+mp+np=148