\(T=\overrightarrow{GA}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)+\overrightarrow{GB}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{GC}.\overrightarrow{AB}\)

\(=\overrightarrow{AB}\left(\overrightarrow{GC}-\overrightarrow{GA}\right)+\overrightarrow{AC}\left(\overrightarrow{GA}-\overrightarrow{GB}\right)\)

\(=\overrightarrow{AB}\left(\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{AG}\right)+\overrightarrow{AC}\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{BG}\right)\)

\(=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BA}\)

\(=0\)

a.

\(P=cos120^0+cos120^0+cos120^0=-\dfrac{3}{2}\)

b.

\(A=\dfrac{\dfrac{sinx}{cosx}-\dfrac{cosx}{cosx}}{\dfrac{sinx}{cosx}+\dfrac{cosx}{cosx}}=\dfrac{tanx-1}{tanx+1}=\dfrac{2-1}{2+1}=\dfrac{1}{3}\)

c.

\(A=\dfrac{cos\left(720+30\right)+sin\left(360+60\right)}{sin\left(-360+30\right)-cos\left(-360-30\right)}=\dfrac{cos30+sin60}{sin30-cos30}=-3-\sqrt{3}\)

a. \(=\widehat{ABC}=60^o\)

b. \(=120^o\)

c. \(=30^o\)

a: \(\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}\)

b: lấy điểm H sao cho \(\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{GC}\)

\(\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{GC}\)

=>AH//GC và AH=GC

Xét tứ giác AHCG có

AH//CG

AH=GC

Do đó: AHCG là hình bình hành

ΔABC đều có G là trọng tâm

nên \(AG=GB=GC=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)

\(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{GC}\right|=\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AH}\right|\)

\(=\left|\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{HB}\right|=HB\)

AHCG là hình bình hành

=>HC=AG và HC//AG

=>\(HC=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\)

ΔABC đều có G là trọng tâm

nên GB=GC=GA

GB=GC

AB=AC

Do đó: AG là đường trung trực của BC

=>AG\(\perp\)BC

mà CH//AG

nên CH\(\perp\)CB

=>ΔCHB vuông tại C

=>\(BH^2=HC^2+BC^2\)

=>\(BH^2=\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2+a^2=a^2+\dfrac{1}{3}a^2=\dfrac{4}{3}a^2\)

=>\(BH=a\cdot\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\)

=>\(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{GC}\right|=BH=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\)

Theo tính chất trọng tâm tam giác ta luôn có:

\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow\overrightarrow{GA}=-\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GC}\)

Thế vào đẳng thức giả thiết ta được:

\(BC.\left(-\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GC}\right)+AC.\overrightarrow{GB}+AB.\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow\left(AC-BC\right)\overrightarrow{GB}=\left(BC-AB\right)\overrightarrow{GC}\) (1)

Mà \(\overrightarrow{GB};\overrightarrow{GC}\) không phải 2 vecto cùng phương

\(\Rightarrow\left(1\right)\) xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}AC-BC=0\\BC-AB=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AC=BC\\AB=BC\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow AB=AC=BC\) \(\Rightarrow\Delta ABC\) là tam giác đều

Bài 3: 

Tham khảo:

+) \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {ABC} = 60^\circ \)

+) Dựng hình bình hành ABCD, ta có: \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC} \)

\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = \widehat {BAD} = 120^\circ \)

+), Ta có: ABC là tam giác đều, H là trung điểm BC nên  \(AH \bot BC\)

\(\left( {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {AD} } \right) = \widehat {HAD} = 90^\circ \)

+) Hai vectơ \(\overrightarrow {BH} \) và \(\overrightarrow {BC} \)cùng hướng nên \(\left( {\overrightarrow {BH} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 0^\circ \)

+) Hai vectơ \(\overrightarrow {HB} \) và \(\overrightarrow {BC} \)ngược hướng nên \(\left( {\overrightarrow {HB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 180^\circ \)

Gt ⇒ \(2\left|\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=3\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|\)

Do G là trọng tâm của ΔABC

⇒ \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}\)

⇒ VT = 6MG

I là trung điểm của BC

⇒ \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}\)

⇒ VP = 6MI

Khi VT = VP thì MG = MI

Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn ycbt là đường trung trực của đoạn thẳng IG

Gọi M là trung điểm của BC

Ta có: ΔABC đều

mà AM là đường trung tuyến

nên AM\(\perp\)BC tại M

Xét ΔAMB vuông tại M có \(sinB=\dfrac{AM}{AB}\)

=>\(\dfrac{AM}{1}=sin60=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

=>\(AM=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

Xét ΔABC có AM là đường trung tuyến

nên \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\cdot\overrightarrow{AM}\)

=>\(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CA}=2\cdot\overrightarrow{AM}\)

=>\(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CA}\right|=2\cdot AM=2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\)

=>A đúng, B và C đều sai

\(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|\)

\(=\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}\right|=\left|\overrightarrow{CB}\right|=CB=1\)

=>D sai