Áp dụng hệ quả của định lí sin và định lí cosin, ta có:

\(\frac{a}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow \sin A = \frac{a}{{2R}}\)

và \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)

\( \Rightarrow \cot A = \frac{{\cos A}}{{\sin A}} = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}:\frac{a}{{2R}} = R.\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{abc}}\)

Tương tự ta có: \(\cot B = R.\frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{abc}}\) và \(\cot C = R.\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{abc}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \cot A + \cot B + \cot C = \frac{R}{{abc}}\left[ {\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right) + \left( {{a^2} + {c^2} - {b^2}} \right) + \left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)} \right]\\ = \frac{R}{{abc}}\left( {2{b^2} + 2{c^2} + 2{a^2} - {a^2} - {c^2} - {b^2}} \right) = \frac{{R({a^2} + {b^2} + {c^2})}}{{abc}}\end{array}\)

15/25

Đùa tí :v, Ta có:

\(tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC\)

Vi` vay \(cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1\)

Va` \(\left(cotA-cotB\right)^2+\left(cotB-cotC\right)^2+\left(cotC-cotA\right)^2\ge0\)

Vi` vay \(cot^2A+cot^2B+cot^2C\ge1\)

Then \(\left(cotA+cotB+cotC\right)^2=cot^2A+cot^2B+cot^2C+2\left(cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA\right)\ge3\)

Nen \(cotA+cotB+cotC\ge\sqrt{3}\)

Xay ra khi \(cotA=cotB=cotC\)

\(cotx\) là hàm lồi trên \(\left(0;\frac{\pi}{2}\right)\) và \(A,B,C\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right)\)

Thì theo BĐT Jensen ta có: 

\(cotA+cotB+cotC\ge3cot\left(\frac{A+B+C}{3}\right)=\sqrt{3}\)

Xong :v

a/ Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\S=\frac{1}{2}ac.sinB\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\sinB=\frac{2S}{ac}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow cotB=\frac{cosB}{sinB}=\frac{\left(a^2+c^2-b^2\right).ac}{2ac.2S}=\frac{a^2+c^2-b^2}{4S}\)

b/ Tương tự: \(cotA=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}\) ; \(cotC=\frac{a^2+b^2-c^2}{4S}\)

\(\Rightarrow cotA+cotB+cotC=\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}\)

Theo tính chất của tam giác, ta có:

\(A+B+C=180^0\)

\(\Rightarrow\dfrac{A+B+C}{2}=90^0\)

\(\Rightarrow\dfrac{B+C}{2}=90^0-\dfrac{A}{2}\)

\(\Rightarrow tan\left(\dfrac{B+C}{2}\right)=tan\left(90^0-\dfrac{A}{2}\right)\)

\(\Rightarrow tan\left(\dfrac{B+C}{2}\right)=cot\left(\dfrac{A}{2}\right)\)

Theo đầu bài ta có : \(\cot\frac{A}{2}+\cot\frac{C}{2}=2\cot\frac{B}{2}\Leftrightarrow\frac{\sin\frac{A+C}{2}}{\sin\frac{A}{2}\sin\frac{C}{2}}=2\frac{\cos\frac{B}{2}}{\sin\frac{B}{2}}=2\frac{\sin\frac{A+C}{2}}{\cos\frac{A+C}{2}}\)

\(\Leftrightarrow\sin\left(\frac{A+C}{2}\right)\cos\left(\frac{A+C}{2}\right)=2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{C}{2}\sin\frac{A+C}{2}=\left(\cos\frac{A-C}{2}-\cos\frac{A+C}{2}\right)\sin\frac{A+C}{2}\)

\(\Leftrightarrow2\sin\frac{A+C}{2}\cos\frac{A+C}{2}=\cos\frac{A-C}{2}\sin\frac{A+C}{2}\)

\(\Leftrightarrow2\sin\left(A+C\right)=\frac{1}{2}\left(\sin A+\sin C\right)\)

\(\Leftrightarrow\sin A+\sin C=2\sin B\Rightarrow a+c=2b\)

Chứng tỏ 3 cạnh của tam giác lập thành cấp số cộng