a: Trường hợp 1: x=3k

\(\Leftrightarrow A=\left(3k+3\right)\left(3k+7\right)\left(3k+11\right)⋮3\)

Trường hợp 2: x=3k+1

\(\Leftrightarrow A=\left(3k+4\right)\left(3k+8\right)\left(3k+12\right)⋮3\)

Trường hợp 3: x=3k+2

\(\Leftrightarrow A=\left(3k+5\right)\left(3k+9\right)\left(3k+13\right)⋮3\)

A = 8.n + 111......11111 
= ( 8 + 111...11111 ) . n 
= 9999.......9 . n chia hết cho 9 ( dấu hiệu nhận biết ) 
=> ĐPCM

Tổng các chữ số của số 111...1 (n chữ số 1) là:1+1+1+...+1=1.n

=>tổn các chữ số của A là:

8.n+1.n =n.(8+1)=9n

Vì 9n chia hết cho 3

=>Tổng các chữ số của số A chia hết cho 3

=>A chia hết cho 3 (ĐPCM)

111...111 (n chữ số 1) là số có tổng các chữ số là n (chia hết cho 9 thì phải xét theo tổng các chữ số) 

=> 8.n + n = 9.n chia hết cho 9

1/

Gọi số cần tìm là a

Ta có : 

a : 17 dư 8 

=> a - 8 chia hết cho 17

=> a + 17 - 8 chia hết cho 17

=> a + 9 chia hết cho 17

a : 25 dư 16

=> a - 16 chia hết cho 25

=> a + 25 - 16 chia hết cho 25

=> a + 9 chia hết cho 25

=> a + 9 thuộc BC ( 17 ; 25 )

Ta có :

17 = 17

25 = 5² 

=> BCNN ( 17 ; 25 ) = 17 . 5² = 425

=> BC ( 17 ; 25 ) = B ( 425 ) = 

=> a + 9 = B ( 425 ) = { 0 ; 425 ; 950 ; 1375 ; .... }

=> a = { -9 ; 416 ; 941 ; 1366 ; .... }

Mà a là số tự nhiên nhỏ nhất 

=> a = 416

Vậy số cần tìm là 416

2, Câu hỏi của Dương Đình Hưởng - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath

Ta có :

10ⁿ + 18n - 1 = ( 10ⁿ - 1 ) + 18n = 999...9 + 18n ( số 999...9 có n chữ số 9 )

                                                    = 9 . ( 111...1 + 2n ) ( số 111...1 có n chữ số 1 )

                                                    = 9 . A

Xét biểu thức trong ngoặc :

A = 111...1 + 2n = 111...1 - n + 3n ( số 111...1 có n chữ số 1 )

Ta đã biết 1 số tự nhiên và tổng các chữ số của nó sẽ có cùng số dư trong phép chia cho 3

Số 111...1 ( n chữ số 1 ) có tổng các chữ số là : 1 + 1 + 1 + ... + 1 = n ( vì có n chữ số 1 ) 

=> 111...1 ( n chữ số 1 ) và n có cùng số dư trong phép chia cho 3 

=> 111...1 ( n chữ số 1 ) - n chia hết cho 3 

=> A chia hết cho 3

=> 9 . A chia hết cho 27

Hay 10ⁿ + 18n - 1 chia hết cho 27 ( đpcm )

 a=11...1:2n số 1 nên a=(10^2n - 1)/9 
b=11...1:n+1 số 1 nên b=[10^(n+1) - 1]/9 
c=66...6:n số 6 nên c=6*(10^n -1)/9 
a+b+c+8=(10^2n - 1)/9 + [10^(n+1) - 1]/9 + 6*(10^n -1)/9 +72/9 
=(10^2n - 1 + 10*10n -1 +6*10^n - 6 + 72)/9 
=[ (10^n)^2 + 2*10^n(5+3) +64]/9 
=[ (10^n)^2 + 2*8*10^n + 8^2]/9 
= (10^n + 8 )^2/9 
= [(10^n + 8 )/3]^2 
vì 10^n +8=100...0 +8:tổng các chữ số chia hết cho 3 nên (10^n + 8 )/3 là 1 số nguyên =>[(10^n + 8 )/3]^2 là số chính phương

a=1.....1(2n số 1)=1....1(n số 1).${10}^n$ +1...1(n số 1)
b=1...1(n+1 số 1)=1...1(n số 1).10+1
c=6...6(n số 6)=6.1...1(n số1)
Đặt m=1...1(n số 1) $\Rightarrow$ ${10}^n$ =9m+1
a+b+c+8=m.(9m+2)+10m+1+6m+8=9m^2+18m+9=(3m+3)^2 là số chính phương

a) \(5^{n+2}+26.5^n+8^{2n+1}=25.5^n+26.6^n+8.8^{2n}\)

\(=5^n.51+8.64^n\)

Có \(64\equiv5\) (mod 59)

\(\Rightarrow64^n\equiv5^n\) (mod 59)

\(\Rightarrow8.64^n\equiv8.5^n\) (mod 59)

\(\Rightarrow5^n.51+8.64^n\equiv8.5^n+5^n.51\) (mod 59)

mà \(8.5^n+5^n.51=59.5^n\)\(\equiv0\) (mod 59)

\(\Rightarrow5^n.51+8.64^n\equiv8.5^n+5^n.51\equiv0\) (mod 59) 

\(\Rightarrow5^{n+2}+26.5^n+8^{2n+1}⋮59\)

b) \(4^{2n}-3^{2n}-7=16^n-9^n-7\)

Có \(16^n-9^n-7=\left(16-9\right)\left(16^{n-1}+...+9^{n-1}\right)-7=7\left(16^{n-1}+...+9^{n-1}\right)-7⋮\)\(7\) (I)

Có \(16\equiv1\) (mod 3) \(\Rightarrow16^n\equiv1\) (mod 3) mà \(7\equiv1\) (mod 3)

\(\Rightarrow16^n-7\equiv0\) (mod 3) mà \(9^n\equiv0\) (mod 3)

\(\Rightarrow16^n-9^n-7⋮3\) (II)

Có \(9^n\equiv1\) (mod 8)\(\Rightarrow9^n+7\equiv8\) (mod 8) 

\(\Rightarrow9^n+7⋮8\)  mà \(16^n=2^n.8^n⋮8\) 

\(\Rightarrow16^n-9^n-7⋮8\) (III)

Do \(\left(3;7;8\right)=1\)\(,3.7.8=168\)

Từ (I) (II) (III) \(\Rightarrow16^n-9^n-7⋮168\) 

\(\Rightarrow\) Đpcm

a) 5n+2+26.5n+82n+1=25.5n+26.6n+8.82n5n+2+26.5n+82n+1=25.5n+26.6n+8.82n

Có  (mod 59)

 (mod 59)

 (mod 59)

 (mod 59)

mà  (mod 59)

 (mod 59) 

cho e hỏi là 3 dấu gạch ngang là gì vậy ạ

Lời giải:

Đặt $n=2k+1$

Số số hạng: $\frac{n-1}{2}+1=\frac{2k+1-1}{2}+1=k+1$

Tổng A là:

$A=\frac{(k+1)(2k+1+1)}{2}=\frac{2(k+1)^2}{2}=(k+1)^2$ là số chính phương (đpcm)

nếu a là 1 số chẵn thì a+2015= 1 số lẻ mà chẵn*lẻ= lẻ 

=> chia hết cho 2

nếu a là 1 só lẻ thì a +2015 = 1 số chẵn mà lẻ*chẵn= chẵn

=> chia hết cho 2(đpcm)