(A=dfrac{x}{x+y+z}+dfrac{y}{y+z+t}+dfrac{z}{z+t+x}+dfrac{t}{t+x+y})

Giả sử: (Ain N) thì

(left{{}egin{matrix}dfrac{x}{x+y+z}in N\dfrac{y}{y+z+t}in N\dfrac{z}{z+t+x}in N\dfrac{t}{x+y+t}in Nend{matrix} ight.) (Leftrightarrowleft{{}egin{matrix}x⋮x+y+z\y⋮y+z+t\z⋮z+t+x\t⋮t+x+yend{matrix} ight.)

Vì (x;y;z;tin Ncircledast) nên

(left{{}egin{matrix}xge x+y+z\yge y+z+t\zge z+t+x\tge t+x+yend{matrix} ight.Leftrightarrowleft{{}egin{matrix}x+yle0\z+tle0\t+xle0\x+yle0end{matrix} ight.)

Điều trên ko thể xảy ra, (A otin N)

a)

\(x^3+y^3+z^3=x+y+z+2020\)

\(\Rightarrow\left(x^3-x\right)+\left(y^3-y\right)+\left(z^3-z\right)=2020\)

\(\Rightarrow x\left(x-1\right)\left(x+1\right)+y\left(y-1\right)\left(y+1\right)+z\left(z-1\right)\left(z+1\right)=2020\)

Ta có tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 6

=> \(VT⋮6\)

Mà VP \(⋮̸\) 6

\(\Rightarrow\) Phương trình vô nghiệm

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y>=2\sqrt{xy}\\y+z>=2\sqrt{yz}\\x+z>=2\sqrt{xz}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)>=8xyz\)

Dấu = xảy ra khi x=y=z

Vì x+1/y và y+1/x đều thuộc Z <=> (x+1/y).(y+1/y) thuộc Z 

<=> xy+1/xy+2 thuộc Z => xy+1/xy thuộc Z 

<=> (xy+1/xy)^2 thuộc N 

<=> x^2.y^2 + 1/x^2.y^2 + 2 thuộc Z 

<=> x^2.y^2 + 1/x^2.y^2 thuộc Z 

=> ĐPCM

k mk nha bạn

Dễ thấy vai trò của x, y, z là như nhau.

Nếu x, y, z có số dư khi chia cho 3 lần lược là: 0, 1, 2 thì ta có \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)⋮̸3\\x+y+z⋮3\end{cases}}\)(loại)

Nếu x, y, z có 2 số có cùng số dư và 1 số còn lại có số dư khác 2 số đó khi chia cho 3 thì:

\(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)⋮3\\x+y+z⋮̸3\end{cases}}\)(loại)

Nếu x, y, z khi chi cho 3 có cùng số dư thì:

\(\Rightarrow\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)⋮27\)

\(\Rightarrow x+y+z⋮27\)

Đặt a = x + y, b = y + z, c = x + z

Từ đó ta có x = \(\frac{a\:+C-b}{2}\), y = \(\frac{a+b-c}{2}\), z = \(\frac{b+c-a}{2}\)

Thì bất đẳng thức thành

\(\frac{a+c-b}{2b}\)+ \(\frac{b+c-a}{2a}\)+ \(\frac{a+b-c}{2c}\)<= \(\frac{3}{2}\)

<=> (a/b + b/a) + (a/c + c/a) + (b/c + c/b) <= 6 (đúng)

Vậy bất đẳng thức ban đầu là đúng

Mình ghi nhầm đấu nhé >= mà ghi nhầm thành <=

1)x=-3;3

y=-5;5