Đặt \(P=\dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2+bc}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2+ca}\)

Ta có: \(\dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab}=a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{a^2+b^2+ab}\ge a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{3\sqrt[3]{a^3b^3}}=a-\dfrac{a+b}{3}=\dfrac{2a-b}{3}\)

Tương tự: \(\dfrac{b^3}{b^2+c^2+bc}\ge\dfrac{2b-c}{3}\) ; \(\dfrac{c^3}{c^2+a^2+ca}\ge\dfrac{2c-a}{3}\)

Cộng vế:

\(P\ge\dfrac{a+b+c}{3}=673\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=673\)

Giúp mình bài này với ah.

Lời giải:

Tìm min:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$a^3+a^3+1\geq 3a^2$

$b^3+b^3+1\geq 3b^2$

$c^3+c^3+1\geq 3c^2$

$\Rightarrow 2(a^3+b^3+c^3)+3\geq 3(a^2+b^2+c^2)$

$\Leftrightarrow 2P+3\geq 9$

$\Leftrightarrow P\geq 3$

Vậy $P_{\min}=3$ khi $(a,b,c)=(1,1,1)$

----------------

Tìm max:

$a^2+b^2+c^2=3\Rightarrow a^2,b^2,c^2\leq 3$

$\Rightarrow a,b,c\leq \sqrt{3}$

Do đó: $a^3-\sqrt{3}a^2=a^2(a-\sqrt{3})\leq 0$

$\Rightarrow a^3\leq \sqrt{3}a^2$

Tương tự với $b,c$ và cộng theo vế:

$P\leq \sqrt{3}(a^2+b^2+c^2)=3\sqrt{3}$
Vậy $P_{\max}=3\sqrt{3}$ khi $(a,b,c)=(\sqrt{3},0,0)$ và hoán vị. 

a+b+c=1; a>0; b>0; c>0

=>a>=b>=c>=0

=>a(a-c)>=b(b-c)>=0

=>a(a-b)(a-c)>=b(a-b)(b-c)

=>a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)>=0

mà (a-c)(b-c)*c>=0 và c(c-a)(c-b)>=0 

nên a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+(a-c)(b-c)*c>=0

=>a^3+b^3+c^3+3acb>=a^2b+a^2c+b^2c+b^2a+c^2b+c^2a

=>a^3+b^3+c^3+6abc>=(a+b+c)(ab+bc+ac)

=>a^3+b^3+c^3+6abc>=(ab+bc+ac)

mà a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)

nên 2(a^3+b^3+c^3)+3acb>=a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ac(ĐPCM)

a )

`VP= (a+b)^3-3ab(a+b)`

     `=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3-3a^2b-3ab^2`

     `=a^3+b^3 =VT (đpcm)`

b) 

b) Ta có

a) Ta có:

`VP= (a+b)^3-3ab(a+b)`

     `=a^3 + b^3+3ab ( a + b )- 3ab ( a + b )`

     `=a^3 + b^3=VT(dpcm)`

b) Ta có

Ta có \(a^4+b^4\ge2a^2.b^2\) (Bất đẳng thức Cô si với \(a^2;b^2\ge0\) )
Tương tự \(b^4+c^4\ge2b^2.c^2;a^4+c^4\ge2a^2.c^2\)
Do đó: \(a^4+b^4+c^4\ge\dfrac{2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2}{2}=a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\)(1)
Ta lại có:\(a^2b^2+b^2c^2\ge2ab^2c;b^2c^2+a^2c^2\ge2abc^2;a^2c^2+a^2b^2\ge2a^2bc\)
Nên\(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2\ge a^2bc+ab^2c+abc^2=abc\left(a+b+c\right)=3abc\left(a+b+c=3,gt\right)\)
(1);(2) => \(a^4+b^4+c^4\ge3abc\) ;đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 (*)
Giả sử: \(a^3+b^3+c^3\ge3abc\\ \Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3-3ab\left(a+b+c\right)-3c\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b+c\right)^2-ab-bc-ac\right]\ge0\\2.3\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)\ge0\\ \Leftrightarrow3\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\right)\ge0\\\Leftrightarrow3\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\right]\ge0\)
Đúng mới mọi a,b,c ϵR 
Vậy \(a^3+b^3+c^3\ge3abc\) và đẳng thức xảy ra khi a=b=c=(a+b+c)/3 =1(**)
Ta lại có \(a^4\ge a^3;b^4\ge b^3;c^4\ge c^3\) mà a+b+c = 3
Nên \(a^4+b^4+c^4>a^3+b^3+c^3\) (***)
Từ (*);(**);(***) ta có điều phải chứng minh và đẳng thức xảy ra khi a= b=c=1
 

Tôi có cách chứng minh bằng đồng bậc hóa bất đẳng thức như sau:

ta sẽ chứng minh:

\(3\left(a^4+b^4+c^4\right)>=\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
<=> \(2\left(a^4+b^4+c^4\right)>=ab\left(a^2+b^2\right)+bc\left(b^2+c^2\right)+ca\left(c^2+a^2\right)\)

mà ta có theo bất đẳng thức AMGM \(a^4+b^4>=\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}>=\dfrac{2ab\left(a^2+b^2\right)}{2}=ab\left(a^2+b^2\right)\)
làm tương tự rồi cộng lại, ta có đpcm.

\(A=x\left(y^2-z^2\right)+y\left(z^2-x^2\right)+z\left(x^2-y^2\right)=x\left(y^2-z^2\right)+y\left(-y^2+z^2-x^2+y^2\right)+z\left(x^2-y^2\right)=\left(y^2-z^2\right)\left(x-y\right)+\left(x^2-y^2\right)\left(z-y\right)=\left(y-z\right)\left(y+z\right)\left(x-y\right)-\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(y-z\right)=\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(y+z-x-y\right)=\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\)

\(B=a\left(b^3-c^3\right)+b\left(c^3-a^3\right)+c\left(a^3-b^3\right)=ab^3-ac^3+bc^3-a^3b+a^3c-b^3c=ab\left(b^2-a^2\right)-c^3\left(a-b\right)+c\left(a^3-b^3\right)=-ab\left(a-b\right)\left(a+b\right)-c^3\left(a-b\right)+c\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)=\left(a-b\right)\left(-a^2b-ab^2-c^3+a^2c+abc+b^2c\right)\)

\(C=ab\left(a+b\right)-bc\left(b+c\right)+ac\left(a-c\right)=ab\left(a+b\right)-bc\left(a+b-a+c\right)+ac\left(a-c\right)=ab\left(a+b\right)-bc\left(a+b\right)+bc\left(a-c\right)+ac\left(a-c\right)=b\left(a+b\right)\left(a-c\right)+c\left(a-c\right)\left(a+b\right)=\left(a+b\right)\left(c+c\right)\left(a-c\right)\)