Để phương trình có 2 nghiệm thì \(\left(m-2\right)^2-4\left(m-3\right)>=0\)

\(\Leftrightarrow m^2-4m+4-4m+6>=0\)

\(\Leftrightarrow m^2-8m+16-6>=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-4\right)^2\ge6\)

hay \(\left[{}\begin{matrix}m>=\sqrt{6}+4\\m< =-\sqrt{6}+4\end{matrix}\right.\)

Bài 1:
$2x^4-3x^2-5=0$

$\Leftrightarrow (2x^4+2x^2)-(5x^2+5)=0$

$\Leftrightarrow 2x^2(x^2+1)-5(x^2+1)=0$
$\Leftrightarrow (x^2+1)(2x^2-5)=0$

$\Leftrightarrow 2x^2-5=0$ (do $x^2+1\geq 1>0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$)

$\Leftrightarrow x^2=\frac{5}{2}$

$\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{\frac{5}{2}}$

Bài 2:

a. Khi $m=1$ thì pt trở thành:

$x^2-6x+5=0$

$\Leftrightarrow (x^2-x)-(5x-5)=0$

$\Leftrightarrow x(x-1)-5(x-1)=0$
$\Leftrightarrow (x-1)(x-5)=0$
$\Leftrightarrow x-1=0$ hoặc $x-5=0$

$\Leftrightarrow x=1$ hoặc $x=5$

b.

Để pt có 2 nghiệm $x_1,x_2$ thì:
$\Delta=(m+5)^2-4(-m+6)\geq 0$

$\Leftrightarrow m^2+14m+1\geq 0(*)$

Áp dụng định lý Viet:

$x_1+x_2=m+5$
$x_1x_2=-m+6$

Khi đó:
$x_1^2x_2+x_1x_2^2=18$

$\Leftrightarrow x_1x_2(x_1+x_2)=18$

$\Leftrightarrow (m+5)(-m+6)=18$

$\Leftrightarrow -m^2+m+12=0$
$\Leftrightarrow m^2-m-12=0$

$\Leftrightarrow (m+3)(m-4)=0$

$\Leftrightarrow m=-3$ hoặc $m=4$

Thử lại vào $(*)$ thấy $m=4$ thỏa mãn.

Bài 1: 

a) Thay m=3 vào (1), ta được:

\(x^2-4x+3=0\)

a=1; b=-4; c=3

Vì a+b+c=0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\(x_1=1;x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{3}{1}=3\)

Bài 2: 

a) Thay m=0 vào (2), ta được:

\(x^2-2x+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=0\)

hay x=1

Ptr có: `a+b+c=1-2m+2+2m-3=0`

   `=>[(x=1),(x=c/a=2m-3):}`

`@TH1: x_1=1;x_2=2m-3`

  `=>\sqrt{1}=2\sqrt{2m-3}`

`<=>\sqrt{2m-3}=1/2`

`<=>2m-3=1/4`

`<=>m=13/8`

`@TH2:x_1=2m-3;x_2=1`

  `=>\sqrt{2m-3}=2\sqrt{1}`

`<=>2m-3=4`

`<=>m=7/2`

a: khi m=1 thì pt sẽ là:

x^2-4x-5=0

=>x=5; x=-1

b: |x1|-|x2|=-2022

=>x1^2+x2^2-2|x1x2|=2022^2

=>(x1+x2)^2-2x1x2-2|x1x2|=2022^2

=>(2m+2)^2-2|-5|-2*(-5)=2022^2

=>(2m+2)^2=2022^2

=>2m+2=2022 hoặc 2m+2=-2022

=>m=1010 hoặc m=-1012

\(ac=-10< 0\Rightarrow\) phương trình luôn có 2 nghiệm pb trái dấu

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-m\\x_1x_2=-10\end{matrix}\right.\)

Kết hợp hệ thức Viet và đề bài:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-m\\x_1-x_2=8\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{-m+8}{2}\\x_2=\dfrac{-m-8}{2}\end{matrix}\right.\)

Thế vào \(x_1x_2=-10\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{-m+8}{2}\right)\left(\dfrac{-m-8}{2}\right)=-10\)

\(\Leftrightarrow m^2-64=-40\Rightarrow m^2=24\)

\(\Rightarrow m=\pm2\sqrt{6}\)

Ta có : \(x^2-2\left(m-1\right)x+m^2+m+1=0\left(a=1;b=-2m+2;c=m^2+m+1\right)\)

\(\Delta=\left(-2m+2\right)^2-4\left(m^2+m+1\right)=4m^2+4-4m^2-4m-4=-4m< 0\)

Nếu \(-4m< 0\Leftrightarrow m>0\) chắc ĐK là vậy.

Theo hệ thức Vi et ta có : \(x_1+x_2=2m+2;x_1x_2=m^2+m+1\)

Theo bài ra ta có : \(x_1^2+x_2^2=4x_1x_2-2\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=4x_1x_2-2\) Thay vao ta có pt mới : 

\(\Leftrightarrow\left(2m+2\right)^2-4\left(m^2+m+1\right)=4\left(m^2+m+1\right)-2\)

\(\Leftrightarrow4m+4-4m^2-m-1=4m^2+4m+4-2\)

\(\Leftrightarrow3m+3-4m^2=4m^2+4m+2\)

\(\Leftrightarrow-m+1-8m^2=0\) Ta có : \(\left(-1\right)^2-4\left(-8\right)=1+32=33>0\)

\(x_1=\frac{1-\sqrt{33}}{-16};x_2=\frac{1+\sqrt{33}}{-16}\)

Tớ ngu ! tớ nhận. 

Sửa từ dòng 4 trở lên.

\(\Leftrightarrow4m^2+4-4m^2-m-1=4m^2+4m+4-2\)

\(\Leftrightarrow3-m=4m^2+4m+2\)

\(\Leftrightarrow3-m-4m^2-4m-2=0\)

\(\Leftrightarrow1-5m-4m^2=0\)Ta có : \(\left(-5\right)^2-4\left(-4\right)=25+16=41>0\)

\(x_1=\frac{5-\sqrt{41}}{-4};x_2=\frac{5+\sqrt{41}}{-4}\)

Tại sao thế )): \(\Leftrightarrow4m^2+4-4m^2-m-4=4m^2+4m+4-2\)

\(\Leftrightarrow-m-4m^2-4m-4-2=0\)

\(\Leftrightarrow-5m-4m^2-6=0\)Ta có : \(\left(-5\right)^2-4.\left(-6\right).\left(-4\right)< 0\)vô nghiệm 

Ta có: \(x^2-2\left(m+1\right)x+m-4=0\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi △'>0\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)^2-m+4>0\Leftrightarrow m^2+m+5>0\)(luôn đúng)

Theo Vi-ét \(x_1+x_2=2\left(m+1\right);x_1x_2=m-4\)

\(A=x_1+x_2-2x_1x_2+2021=2\left(m+1\right)-2\left(m-4\right)+2021=2031\) không phụ thuộc vào m