Bài 4: 

a) Áp dụng định lí Pytago vào ΔAHB vuông tại H, ta được:

\(AH^2+BH^2=AB^2\)

\(\Leftrightarrow BH^2=AB^2-AH^2=15^2-12^2=81\)

hay BH=9(cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(AH^2=HB\cdot HC\)

\(\Leftrightarrow HC=\dfrac{AH^2}{HB}=\dfrac{12^2}{9}=16\left(cm\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{AC^2}=\dfrac{1}{12^2}-\dfrac{1}{15^2}=\dfrac{1}{400}\)

hay AC=20(cm)

Vậy: BH=9cm; CH=16cm; AC=20cm

b) Xét ΔCFE và ΔCAB có 

\(\dfrac{CF}{CA}=\dfrac{CE}{CB}\left(\dfrac{4}{20}=\dfrac{5}{25}\right)\)

\(\widehat{C}\) chung

Do đó: ΔCFE∼ΔCAB(c-g-c)

Suy ra: \(\widehat{CFE}=\widehat{CAB}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{CAB}=90^0\)(ΔABC cân tại A)

nên \(\widehat{CFE}=90^0\)

hay ΔCFE vuông tại F

c) Ta có: \(\dfrac{CF}{CA}=\dfrac{CE}{CB}\left(\dfrac{4}{20}=\dfrac{5}{25}\right)\)

nên \(CE\cdot CA=CF\cdot CB\)(đpcm)

\(\left\{{}\begin{matrix}6u_2+u_5=1\\3u_3+2u_4=-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6u_1.q+u_1.q^4=1\\3u_1.q^2+2u_1.q^3=-1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow u_1\left(6q+q^4+3q^2+2q^3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow q^3+2q^2+3q+6=0\)

\(\Leftrightarrow\left(q+2\right)\left(q^2+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow q=-\text{​​}2\)

\(\Rightarrow u_1=\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow u_n=u_1.q^{n-1}=\dfrac{1}{4}.\left(-2\right)^{n-1}=\left(-2\right)^{n-3}\)

a: Xét tứ giác APMQ có \(\widehat{APM}+\widehat{AQM}=90^0+90^0=180^0\)

nên APMQ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AM

Tâm O là trung điểm của AM

b: Ta có: ΔAHM vuông tại H

=>H nằm trên đường tròn đường kính AM

=>H nằm trên (O)

Ta có: ΔABC đều

mà AH là đường cao

nên AH là phân giác của góc BAC

Xét (O) có

\(\widehat{PAH}\) là góc nội tiếp chắn cung PH

\(\widehat{QAH}\) là góc nội tiếp chắn cung QH

\(\widehat{PAH}=\widehat{QAH}\left(cmt\right)\)

Do đó: \(sđ\stackrel\frown{HP}=sđ\stackrel\frown{HQ}\)

Xét (O) có

\(\widehat{QPH}\) là góc nội tiếp chắn cung QH

\(\widehat{HQP}\) là góc nội tiếp chắn cung HP

\(sđ\stackrel\frown{QH}=sđ\stackrel\frown{HP}\)

Do đó: \(\widehat{HPQ}=\widehat{HQP}\)

=>HQ=HP

=>H nằm trên đường trung trực của QP(1)

Ta có: OP=OQ

=>O nằm trên đường trung trực của QP(2)

Từ (1) và (2) suy ra HO là đường trung trực của PQ

=>HO\(\perp\)PQ

Gọi độ dài AB và vận tốc dự kiến lần lượt là x,y

Theo đề, ta có hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x}{y}=\dfrac{10}{3}\\\dfrac{x}{y+5}=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x-10y=0\\x-3y=15\end{matrix}\right.\)

=>x=150 và y=45

\(\dfrac{2A}{2A+16.5}=\dfrac{43,66}{100}\)

=> \(200A=43,66.\left(2A+16.5\right)\)

=> \(200A-87,32A=3492,8\)

=> \(112,68A=3492,8\)

=> A= 31 

Cái đó là tìm ra A là bn ạ

\(x=\left(\dfrac{1}{2}\right)^3:\left(\dfrac{1}{2}\right)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3-1}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}\)

1/4

\(\dfrac{1}{4}\)

a: Xét (O) có

ΔADB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔADB vuông tại D

=>AD⊥BC tại D

Xét tứ giác AHDC có \(\hat{AHC}=\hat{ADC}=90^0\)

nên AHDC là tứ giác nội tiếp

b: AHDC nội tiếp

=>\(\hat{AHD}+\hat{ACD}=180^0\)

mà \(\hat{AHD}+\hat{MHD}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{MHD}=\hat{ACD}=\hat{ACB}\)

Xét ΔOAC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(OH\cdot OC=OA^2\)

=>\(OH\cdot OC=OB^2\)

=>\(\frac{OH}{OB}=\frac{OB}{OC}\)

Xét ΔOHB và ΔOBC có

\(\frac{OH}{OB}=\frac{OB}{OC}\)

góc HOB chung

Do đó: ΔOHB~ΔOBC

=>\(\hat{OHB}=\hat{OBC}=\hat{ABC}\)

mà \(\hat{OHB}+\hat{MHB}=\hat{OHM}=90^0\) và \(\hat{ABC}+\hat{ACB}=90^0\) (ΔABC vuông tại A)

nên \(\hat{MHB}=\hat{ACB}\)

=>\(\hat{MHB}=\hat{DHM}\)

=>HM là phân giác của góc DHB

Ptr có `2` nghiệm phân biệt `<=>\Delta' > 0`

   `=>(m+1)^2-m^2+2m-3 > 0`

`<=>m^2+2m+1-m^2+2m-3 > 0`

`<=>m > 1/2`

`=>` Áp dụng Viét có: `{(x_1+x_2=-b/a=2m+2),(x_1.x_2=c/a=m^2-2m+3):}`

Ta có: `1/[x_1 ^2]-[4x_2]/[x_1]+3x_2 ^2=0`

`=>1-4x_1.x_2+3(x_1.x_2)^2=0`

`<=>1-4(m^2-2m+3)+3(m^2-2m+3)^2=0`

`<=>[(m^2-2m+3=1),(m^2-2m+3=1/3):}`

`<=>[(m^2-2m+2=0(VN)),(m^2-2m+8/3=0(VN)):}`

  `=>` Không có `m` thỏa mãn.

- Gọi quãng đường AB là x (km)
vì thời gian là bằng quãng đường chia vận tốc, ta có:
- Thời gian của ô tô là \(\dfrac{x}{50}\) (km)
- Thời gian của xe máy là \(\dfrac{x}{40}\) (km)
vì ta dùng đơn vị là km/h nên ta phải đổi 30 phút qua giờ, ta có:
- Đổi: 30 phút = 0,5 giờ
vì thời gian đi của ô tô ít hơn xe máy là 0,5 giờ nên ta có phương trình:
\(\dfrac{x}{40}\) \(-\) \(\dfrac{x}{50}\) = 0,5 
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{x\times50}{40\times50}\)\(-\)\(\dfrac{x\times40}{50\times40}\) = \(\dfrac{0,5\times40\times50}{40\times50}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{50x}{40\times50}\)\(-\dfrac{40x}{50\times40}=\dfrac{1000}{50\times40}\)
\(\Rightarrow\) 50x - 40x = 1000
\(\Leftrightarrow\)10x = 1000
\(\Leftrightarrow\) x = 1000 : 10
\(\Leftrightarrow\) x = 100
vậy quãng đường AB là 100 (km)
----chúc cậu học tốt----

Đổi \(30phút=\dfrac{1}{2}h\)

Gọi quãng đường AB là \(x\left(km;x>0\right)\)

Thì thời gian ô tô đi từ A đến B là \(\dfrac{x}{50}\left(h\right)\)

Thời gian xe máy đi từ A đến B là \(\dfrac{x}{40}\left(h\right)\)

Vì thời gian đi từ A đến B của ô tô ít hơn của xe máy là \(\dfrac{1}{2}h\) nên ta có phương trình :

\(\dfrac{x}{40}-\dfrac{x}{50}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow5x-4x=100\)

\(\Leftrightarrow x=100\left(nhận\right)\)

Vậy quãng đường AB dài \(100km\)