\(xy+x+ y=2\)

\(\Rightarrow (y+1)x + y = 2\)

\(\Rightarrow (y+1)x + (y + 1 ) = 2 + 1 \)

\(\Rightarrow (y+1)(x+1)\) \(= 3\)

Lập bảng : 

Vậy các cặp \((x;y) \) thỏa mãn là : \((0;2) ; (-2;-4) ; ( 2;0); ( -4;-2)\)

\(xy+yz+zx\le\dfrac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2=\dfrac{4}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{2}{3}\)

Đặt \(a=\dfrac{1}{x};b=\dfrac{1}{y}\). khi đó gt trở thành:

\(a+b=a^2+b^2-ab\ge\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow o\le a+b\le4\);

\(A=a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)=\left(a+b\right)^2\le16\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=2 <=> x=y=1/2

Vậy Max A = 16

1 do (x-1)⁴ là số tự nhiên,(y+1)^4 là số tự nhiên 

nên để tổng bằng 0 thì cả (x-1)⁴ và (y+1)^4cùng bằng 0

nên x=0,y=-1

thay x,y vào rồi tính C

ta có:\(A=\left|x+1\right|+\left|x+2\right|+...+\left|x+9\right|=14x\left(1\right)\)

do \(\left|x+1\right|\ge0,\left|x+2\right|\ge0,....,\left|x+9\right|\ge0\)

\(\Rightarrow14x>0\)\(\Rightarrow x>0\)

khi đó (1) trở thành:x+1+x+2+x+3+...+x+9=14x

\(\Rightarrow9x+45=14x\)

\(\Rightarrow45=5x\)

\(\Rightarrow x=9\)

\(xy+2yz+3zx=xy+zx+2yz+2zx=x\left(y+z\right)+2z\left(y+x\right)=x.\left(-x\right)+2z.\left(-z\right)=-x^2-2z^2\le0\)-Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=0\)

3x=2y

nên x/2=y/3

Đặt x/2=y/3=k

=>x=2k; y=3k

\(P=\dfrac{\left(2k\right)^2-2k\cdot3k+\left(3k\right)^2}{\left(2k\right)^2+2k\cdot3k+\left(3k\right)^2}\)

\(=\dfrac{4k^2-6k^2+9k^2}{4k^2+6k^2+9k^2}=\dfrac{4-6+9}{4+6+9}=\dfrac{7}{19}\)

\(\sqrt{xy}\left(x-y\right)=x+y\)

\(\Rightarrow xy\left(x-y\right)^2=\left(x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow xy\left[\left(x+y\right)^2-4xy\right]=\left(x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow xy\left(x+y\right)^2=4\left(xy\right)^2+\left(x+y\right)^2\ge2\sqrt{4\left(xy\right)^2\left(x+y\right)^2}=4xy\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow x+y\ge4\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(2+\sqrt{2};2-\sqrt{2}\right)\)

Có thể tìm được min của P chứ không thể tính ra được giá trị cụ thể của P (biểu thức P vẫn phụ thuộc x;y, cụ thể sau khi rút gọn \(P=2\left(x+y\right)-1\))

\(\dfrac{x}{1-x}+\dfrac{y}{1-y}=1\Leftrightarrow1+\dfrac{x}{1-x}+1+\dfrac{y}{1-y}=3\)

\(\Leftrightarrow3=\dfrac{1}{1-x}+\dfrac{1}{1-y}\ge\dfrac{4}{2-\left(x+y\right)}\)

\(\Leftrightarrow2-\left(x+y\right)\ge\dfrac{4}{3}\Rightarrow x+y\le\dfrac{2}{3}< 1\)

Cũng từ giả thiết:

\(\dfrac{x\left(1-y\right)+y\left(1-x\right)}{\left(1-x\right)\left(1-y\right)}=1\Leftrightarrow x+y-2xy=1-x-y+xy\)

\(\Leftrightarrow3xy=2\left(x+y\right)-1\)

Do đó:

\(P=x+y+\sqrt{\left(x+y\right)^2-3xy}=x+y+\sqrt{\left(x+y\right)^2-2\left(x+y\right)+1}\)

\(P=x+y+\sqrt{\left(1-x-y\right)^2}=x+y+1-x-y=1\)

À tính được P, nãy xác định ngược dấu.