a^2+b^2+c^2<2ab+2ac+2bc
Những câu hỏi liên quan
1.Chứng minh các đẳng thức sau
a)(a+b+c)^2+(b+c-a)^2+(c+a-b)^2= 4(a^2+b^2+c^2)
b)(a+b+c+d)^2+(a+b+c-d)^2+(a+c-b-d)^2+(a+d-b-c)^2= 4(a^2+b^2+c^2+d^2)
c)(a^2-b^2-c^2-d^2)+2(ab-bc+cd+da)^2= (a^2+b^2+c^2+d^2)-2(ab-ad+bc+dc)^2
d)(a+b+c)^2+a^2+b^2+c^2= (a+b)^2+(b+c)^2=(c+a)^2
2. Chứng minh rằng
a) Nếu (a+b+c+d)(a-b-c+d)=(a-b+c-d)(a+b-c-d) thì a/b=c/d
b) Nếu (a+b+c)^2= 3(ab+bc+ca) thì a=b=c
1. Rút gọn:
a) ( a^2 + b^2 + c^2 )^2 - (a^2 - b^2 - c^2 )^2
b) (a+b+c)^2 - (a-b-c)^2 - 4ac
c) (a+b+c)^2 - (a+b)^2 - (a+c)^2-(b+c)^2
d) (a+b+c)^2 + (a-b+c)^2 +(a+b-c)^2 + (-a+b+c)^2
a) ( a2 + b2+ c2)2 - ( a2 - b2 - c2)2
= ( a2 + b2+ c2 + a2 - b2 - c2)( a2 + b2+ c2 - a2 + b2 + c2)
= 4a2( b2 + c2)
b) ( a + b + c)2 - ( a - b - c)2 - 4ac
= ( a + b + c - a + b + c)( a + b + c + a - b - c) - 4ac
= 4a( b + c) - 4ac
= 4a( b + c - c)
= 4ab
Đúng 0
Bình luận (3)
vì a+b+c0 nên a-(b+c)Rightarrow $a^2$$(b+c)^2$tương tự ta có : $b^2$$(a+c)^2$$c^2$$(a+b)^2$Rightarrow $frac{a^2}{a^2-b^2-c^2}$+$frac{b^2}{b^2-c^2-a^2}$+$frac{c^2}{c^2-b^2-a^2}$$frac{a^2}{(b+c)^2-b^2-c^2}$+$frac{b^2}{(a+c)^2-a^2-c^2}$+$frac{c^2}{(a+b)^2-a^2-b^2}$$frac{a^2}{2bc}$+$frac{b^2}{2ac}$+$frac{c^2}{2ab}$$frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}$vì a+b+c0 nên a^3+b^3+c^33abc(hằng đẳng thức nâng cao)Rightarrow $frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}$$frac{3}{2}$
Đọc tiếp
vì a+b+c=0 nên a=-(b+c)\Rightarrow $a^2$=$(b+c)^2$
tương tự ta có : $b^2$=$(a+c)^2$
$c^2$=$(a+b)^2$
\Rightarrow $\frac{a^2}{a^2-b^2-c^2}$+$\frac{b^2}{b^2-c^2-a^2}$+$\frac{c^2}{c^2-b^2-a^2}$
=$\frac{a^2}{(b+c)^2-b^2-c^2}$+$\frac{b^2}{(a+c)^2-a^2-c^2}$
+$\frac{c^2}{(a+b)^2-a^2-b^2}$
=$\frac{a^2}{2bc}$+$\frac{b^2}{2ac}$+$\frac{c^2}{2ab}$
=$\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}$
vì a+b+c=0 nên a^3+b^3+c^3=3abc(hằng đẳng thức nâng cao)
\Rightarrow $\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}$=$\frac{3}{2}$
Bài 1: CMR
a/ 2*(a^3+ b^3+ c^3- 3abc)=(a+b+c)*((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)
b/ (a+b)*(b+c)*(c+a)+4abc=c*(a+b)^2+a*(b+c)^2+b*(c+a)^2
c/ (a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3*(a+b)*(b+c)*(c+a)
Bài 2: Cho a+b+c=4m.CMR:
a/ 2ab+ a^2+ b^2- c^2=16m^2- 8mc
b/ (a+b-c/2)^2+(a-b+c/2)^2+(b+c-a/2)^2=a^2+b^2+c^2-4m^2
Ta có :
a^3+b^3+c^3-3abc
=(a+b)^3+c^3-3ab(a+b) - 3abc
=(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
=> 2(a^3+b^3+c^3-3abc)= (a+b+c)(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca)
=(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]
Đúng 2
Bình luận (0)
Bài 1: a( b^2 + c^2) + b(c^2 + a^2) + c(a^2 + b^2) + 2abc
Bài 2: (a+b)(a^2 - b^2) + (b+c)(b^2 - c^2) + (c+a)(c^2 - a^2)
\(\left(a+b\right)\left(a^2-b^2\right)+\left(b+c\right)\left(b^2-c^2\right)+\left(c+a\right)\left(c^2-a^2\right)\\ =\left(a+b\right)\left(a^2-b^2\right)+\left(b+c\right)\left[-\left(a^2-b^2\right)-\left(c^2-a^2\right)\right]+\left(c+a\right)\left(c^2-a^2\right)\\ =\left(a+b\right)\left(a^2-b^2\right)-\left(b+c\right)\left(a^2-b^2\right)-\left(b+c\right)\left(c^2-a^2\right)+\left(c+a\right)\left(c^2-a^2\right)\\ =\left(a^2-b^2\right)\left(a-c\right)-\left(c^2-a^2\right)\left(a-b\right)\\ =\left(a-b\right)\left(a+b\right)\left(a-c\right)-\left(a+c\right)\left(c-a\right)\left(a-b\right)\\ =\left(a+b\right)\left(a-c\right)\left(a+b-a-c\right)\\ =\left(a+b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)\)
Đúng 3
Bình luận (0)
\(a\left(b^2+c^2\right)+b\left(c^2+a^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)+2abc\\ =ab^2+ac^2+bc^2+a^2b+c\left(a^2+2ab+b^2\right)\\ =ab\left(a+b\right)+c^2\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)^2\\ =\left(a+b\right)\left(ab+c^2+ac+cb\right)\\ =\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\)
Đúng 2
Bình luận (0)
a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)+2abc
=ab^2+ac^2+bc^2+a^2b+c(a^2+2ab+b^2)
=ab(a+b)+c^2(a+b)+c(a+b)^2
=(a+b)(ab+c^2+ac+cb)
=(a+b)(b+c)(a+c)
Đúng 2
Bình luận (0)
Cho a, b, c > 0. CM:
a) \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\)
b) \(\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{a^2+c^2}{a+c}\le\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a+b+c}\)
c) \(\frac{a^2+b^2}{a^2-2ab+b^2}+\frac{b^2+c^2}{b^2-2bc+c^2}+\frac{c^2+a^2}{c^2-2ac+a^2}\ge\frac{5}{2}\)
(a, b, c đôi một khác nhau)
chứng minh các hằng đằng thức sau :
a)(a+b+c)^2 +(b+c-a)^2 +(c+a-b)^2 +(a+b-c)^2=4(a^2+b^2+c^2)
b)(a+b+c+d)^2 +(a+b-c-d)^2 +(a+c-b-d)^2 +(a+c-b-d)^(a+d-b-c)^2=4(a^2+b^2+c^2+d^2)
Bổ đề : Chứng minh (a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2)
\(\left(a+b\right)^2+\left(a-b\right)^2=a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2=2a^2+2b^2=2\left(a^2+b^2\right)\)
Áp dụng vào bài toán,ta có :
a) (a + b + c)2 + (b + c - a)2 + (c + a - b)2 + (a + b - c)2
= 2[(b + c)2 + a2] + 2[a2 + (b - c)2] = 2[2a2 + (b + c)2 + (b - c)2] = 2[2a2 + 2(b2 + c2)] = 4(a2 + b2 + c2)
b) (a + b + c + d)2 + (a + b - c - d)2 + (a + c - b - d)2 + (a + d - b - c)2
= 2[(a + b)2 + (c + d)2] + 2[(a - b)2 + (c - d)2] = 2[(a + b)2 + (a - b)2 + (c + d)2 + (c - d)2]
= 2[2(a2 + b2) + 2(c2 + d2)] = 4(a2 + b2 + c2 + d2)
Đúng 0
Bình luận (0)
câu a) cái khúc =2[(b+c)^2 +a^2] +2[a^2 +(b-c)^2] là răng
ghi rõ ra dùm
Đúng 0
Bình luận (0)
(a + b + c)2 + (b + c - a)2 = [(b + c) + a]2 + [(b + c) - a]2 = 2[(b + c)2 + a2]
(c + a - b)2 + (a + b - c)2 = [a - (b - c)]2 + [a + (b - c)]2 = 2[a2 + (b - c)2]
Đúng 0
Bình luận (0)
Xem thêm câu trả lời
1)Rút gọn biểu thức
a)(a+b-c)^2+(a-b+c)^2-2(b-c)^2
b)(a+b+c)^2+(a-b-c)^2+(b-c-a)^2+(c-a-b)^2
c)(a+b+c+d)^2+(a+b-c-d)^2+(a+c-b-d)^2+(a+d-c-b)^2
2)CMR:(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=(ax+by+cz) với x,y,z khác 0 thì x/a=b/y=c/z
3)Cho (a+b+c)^2=3(a^2+b^2+c^2).CMR a=b=c
4)Cho (a+b+c)^2=3(ab+bc+ca).CMR a=b=c
Chứng minh các đẳng thức sau:
a) (a+b+c)^2+(a-b+c)^2+(a+b-c)^2+(b+c-a)^2=4(a^2+b^2+c^2)
b) (a+b+c)^2+a^2+b^2+c^2=(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2
Bài làm:
a) \(\left(a+b+c\right)^2+\left(a-b+c\right)^2+\left(a+b-c\right)^2+\left(b+c-a\right)^2\)
\(=4\left(a^2+b^2+c^2\right)+2\left(ab+bc+ca+ab-bc-ca+ca-bc-ab+bc-ab-ca\right)\)
\(=4\left(a^2+b^2+c^2\right)+2.0\)
\(=4\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
b) \(\left(a+b+c\right)^2+a^2+b^2+c^2\)
\(=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)+a^2+b^2+c^2\)
\(=\left(a^2+2ab+b^2\right)+\left(b^2+2bc+c^2\right)+\left(c^2+2ca+a^2\right)\)
\(=\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2\)
vô tkhđ coi hình ảnh nếu k hiện
B1: Cho a^2+b^2+c^2=0
Chứng minh rằng : A=B=C
Với A=a^2(a^2+b^2)(a^2+c^2)
B=b^2(b^2+c^2)(c^2+a^2)
C=c^2(c^2+a^2)(c^2+b^2)