* Ta có u 1 = 9 1 − 1 = 8  chia hết cho 8 (đúng với n = 1).

* Giả sử u k = 9 k − 1 chia hết cho 8.

Ta cần chứng minh u k + 1 = 9 k + 1 − 1  chia hết cho 8.

Thật vậy, ta có u k + 1 = 9 k + 1 − 1 = 9.9 k − 1 = 9 9 k − 1 + 8 = 9 u k + 8 .

Vì 9 u k và 8 đều chia hết cho 8, nên u k + 1 cũng chia hết cho 8.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì u n chia hết cho 8.

\(n^4+2n^3+2n^2+2n+1=\left(n^4+2n^3+n^2\right)+\left(n^2+2n+1\right)=\left(n^2+1\right)\left(n+1\right)^2\)

Voi n=0 

=>n⁴+2n³+2n²+2n+1=1=1²

Em xin mạn phép sửa đề: Chứng minh với mọi số nguyên n thì A (là cái biểu thức bên trên) luôn không âm.

Ta có: \(A=n^2\left(n+1\right)^2+\left(n+1\right)^2=\left(n+1\right)^2\left(n^2+1\right)\ge0\)

Suy ra đpcm.

Với mọi n nguyên thì \(B=3n+2\) luôn chia 3 dư 2

Mà mọi số chính phương khi chia 3 đều dư 0 hoặc 1

\(\Rightarrow\) B không phải là SCP

\(\Rightarrow\) A không phải số nguyên

Đặt A = \(\sqrt{n}+\sqrt{n+4}\)

=> \(A^2=n+n+4+2\sqrt{n\left(n+4\right)}\) = \(2n+4+2\sqrt{n\left(n+4\right)}\)

Vì n nguyên dương nên 2n + 4 nguyên dương

Mặt khác n(n+4) >0 , không là số chính phương nên \(\sqrt{n\left(n+4\right)}\) , không phải số nguyên dương 

=> \(2\left(\sqrt{n\left(n+4\right)}\right)\) không phải số nguyên dương

=> A² không phải số nguyên dương => A không phải số nguyên dương ( đpcm)

============================

Các bạn giải nhanh nha! 

Ngày mai lúc 8h 30 (hoặc sớm hơn) mình sẽ chấm và đưa ra đáp án.

giả sử \(\sqrt{n}\)+\(\sqrt{n+4}\) là số nguyên dương

khi đó (\(\sqrt{n}\)+\(\sqrt{n+4}\))² cũng là số nguyên dương

->n+2.\(\sqrt{n\left(n+4\right)}\)+n+4 là số nguyên dương

->2n+4+2\(\sqrt{n\left(n+4\right)}\) là số nguyên dương

 tổng trên là số nguyên dương <=>\(\sqrt{n\left(n+4\right)}\)là số nguyên<=>n(n+4) là bình phương của 1 số

Ta thấy với mọi n nguyên dương thì nếu

n=1 thì không thỏa mãn

n=2 thì không thỏa mãn

do đó với mọi n>2 thì tất cả các số là bình phương 1 số đều có dạng (n+2)² =n²+4n+4

mà để là bình phương 1 số thì n(n+4) phải thêm 4 đơn vị với mọi số n (n>2)

do đó n(n+4) không thể là 1 số chính phương

do đó điều giả sử là không đúng

vậy KL

Bạn ghi lại biểu thức đi bạn

\(3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n\)

\(=\left(3^{n+2}+3^n\right)-\left(2^{n+2}+2^n\right)\)

\(=\left(3^n\cdot9+3^n\right)-\left(4\cdot2^n+2^n\right)\)

\(=10\cdot3^n-5\cdot2^n\)

\(=10\cdot3^n-10\cdot2^{n-1}=10\left(3^n-2^{n-1}\right)⋮10\)