Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$S=1+\frac{2xy}{x^2+y^2}+2+\frac{x^2+y^2}{xy}$

$=3+\frac{2xy}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2}{2xy}+\frac{x^2+y^2}{2xy}$

$\geq 3+2\sqrt{\frac{2xy}{x^2+y^2}.\frac{x^2+y^2}{2xy}}+\frac{2xy}{2xy}$

$=3+2+1=6$

Vậy $S_{\min}=6$ khi $x=y$

Hướng dẫn: đặt \(A=\dfrac{y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}+\dfrac{z^4}{\left(y^2+z^2\right)\left(y+z\right)}+\dfrac{x^4}{\left(z^2+x^2\right)\left(z+x\right)}\)

Khi đó \(F-A=x-y+y-z+z-x=0\Rightarrow F=A\)

\(\Rightarrow2F=F+A=\sum\dfrac{x^4+y^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\ge\sum\dfrac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\ge\sum\dfrac{\left(x+y\right)^2\left(x^2+y^2\right)}{4\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\)

\(\Rightarrow2F\ge\dfrac{x+y+z}{2}\Rightarrow F\ge\dfrac{x+y+z}{4}\)

a có:\(\frac{\left(x-y\right)^2}{xy}\ge0\forall x,y\)

      \(\Leftrightarrow\frac{x^2+y^2-2xy}{xy}\ge0\)

       \(\Leftrightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\ge0\)

       \(\Leftrightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\left(1\right)\)

Áp dụng BĐT Cô-si vào các số dương \(\frac{x^2}{y^2},\frac{y^2}{x^2}\)ta có:

\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y^2}.\frac{y^2}{x^2}}=2\left(2\right)\)

Áp dụng BĐT \(\left(1\right),\left(2\right)\)ta được:

\(A=3\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\right)-8\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge3.2-8.2=-10\)

Dấu '=' xảy ra khi \(x=y\)

Vậy \(A_{min}=-10\)khi \(x=y\)

Bđt phụ \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\forall\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2\ge a^2+2ab+b^2\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab=\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)

Áp dụng ta được : 

\(A\ge\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}=\frac{\left(1+4\right)^2}{2}=\frac{25}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Vậy \(A_{min}=\frac{25}{2}\) tại \(x=y=\frac{1}{2}\)

A = x +y +1 => A - 1 = x +y.

Từ gt suy ra : (A -1)² + 7(A -1) + y² + 10 = 0 => A² + 5A + 4 + y² = 0 => A² + 5A + 4 = - y² <= 0. Dấu = xảy ra khi y = 0

=> (A +1)(A +4) <= 0 => - 1 <= A <= -4

A = -1 <=> y = 0 và x + y = -1 => y = 0 và x = -1

A = -4 <=> y =0 và x + y = -4 => y = 0 và x = -4

Vậy minA = -1 khi x = -1, y = 0

maxA = -4 khi x = -4, y = 0

Lời giải:

Sửa: $x^2\geq y^2+z^2$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$P\geq \frac{y^2+z^2}{x^2}+\frac{7x^2}{2}.\frac{4}{y^2+z^2}+2007$

$=\frac{y^2+z^2}{x^2}+\frac{14x^2}{y^2+z^2}+2007$

$=\frac{y^2+z^2}{x^2}+\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{13x^2}{y^2+z^2}+2007$

$\geq 2+\frac{13x^2}{y^2+z^2}+2007$ (áp dụng BĐT Cô-si)

$\geq 2+13+2007=2022$ (do $x^2\geq y^2+z^2$)

Vậy $P_{\min}=2022$

Ta có:\(\frac{\left(x-y\right)^2}{xy}\ge0\forall x,y\)

      \(\Leftrightarrow\frac{x^2+y^2-2xy}{xy}\ge0\)

       \(\Leftrightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\ge0\)

       \(\Leftrightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\left(1\right)\)

Áp dụng BĐT Cô-si vào các số dương \(\frac{x^2}{y^2},\frac{y^2}{x^2}\)ta có:

\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y^2}.\frac{y^2}{x^2}}=2\left(2\right)\)

Áp dụng BĐT \(\left(1\right),\left(2\right)\)ta được:

\(A=3\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\right)-8\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge3.2-8.2=-10\)

Dấu '=' xảy ra khi \(x=y\)

Vậy \(A_{min}=-10\)khi \(x=y\)

^^