a^4 + b^4 >= a^3.b + a.b^3 
<=> a^3(a-b) - b^3(a-b) >=0 
<=> (a^3-b^3).(a-b)>=0 
<=> (a-b)^2. (a^2+ab+b^2)>=0 
<=> (a-b)^2. [(a+1/2.b)^2+3/4.b^2]>=0 
BĐT cuối cùng luôn luôn đúng nên suy ra BĐT đầu đúng 
(Dấu = xảy ra khi a=b)

CHÚC BẠN HỌC TỐT

a) \(\frac{a-1}{2}=\frac{b-2}{3}=\frac{c-3}{4}\Leftrightarrow\frac{2a-2}{4}=\frac{3b-6}{9}=\frac{c-3}{4}\)

Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau : \(\frac{2a-2}{4}=\frac{3b-6}{9}=\frac{c-3}{4}=\frac{2a+3b-c-2-6+3}{4+9-4}=\frac{45}{9}=5\)

Suy ra : \(\begin{cases}a=11\\b=17\\c=23\end{cases}\)

a⁴ + b⁴ >= a^3b+ab^3

<=> a^4 + b^4 - a^3b + ab^3>=0

<=> a^3(a-b) - b^3(a-b)>=0

<=> (a-b)(a^3-b^3)>=0

<=> (a-b)^2(a^2+ab+b^2)>=0

(a-b)^2 >=0 (luôn luôn); a^2+ab+b^2>=0

a⁴ + b⁴ >= a^3b+ab^3

<=> a^4 + b^4 - a^3b + ab^3>=0

<=> a^3(a-b) - b^3(a-b)>=0

<=> (a-b)(a^3-b^3)>=0

<=> (a-b)^2(a^2+ab+b^2)>=0

(a-b)^2 >=0 (luôn luôn); a^2+ab+b^2>=0

giả sử a^4+b^4>/a^3b+ab^3

<=> a^4+b^4-a^3b-ab^3>/0

<=> a^3(a-b)+b^3(b-a)>/0

<=> a^3(a-b)-b^3(a-b)>/0

<=> (a-b)(a^3-b^3)>/0

<=> (a-b)(a-b)(a^2+ab+b^2)>/0

<=> (a-b)^2.(a^2+ab+b^2)>/0

vì (a-b)^2>/0 (với moi a,b),a^2+ab+b^2>/0 (với mọi a,b)

=> (a-b)^2.(a^2+ab+b^2)>/0 (với mọi a,b) đúng 

vậy a^4+b^4>/a^3b+ab^3 (đpcm)

\(a^4+b^4-ab^3-a^3b\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^4-ab^3\right)+\left(b^4-a^3b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a\left(a^3-b^3\right)-b\left(a^3-b^3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^3-b^3\right)\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)

(Luôn đúng vì \(a^2+ab+b^2=\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{b^2}{4}\ge0\))

Vậy có đpcm.

chưa biết làm

\(\Leftrightarrow a^4-a^3b+b^4-ab^3>=0\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)>=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\cdot\left(a^2+ab+b^2\right)>=0\)(luôn đúng)