Δ có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}\) = (1; - 2) và vectochỉ phương

là \(\overrightarrow{u}\) = (2; 1)

a, d ⊥ AB nên d nhận \(\overrightarrow{AB}=\left(2;1\right)\) làm vecto pháp tuyến

Phương trình đường thẳng d: 2(x - 1) + (y + 1) = 0

hay 2x + y - 1 = 0

b, Trung điểm M của AB : \(M\left(2;-\dfrac{1}{2}\right)\)

d ⊥ AB nên d nhận \(\overrightarrow{AB}=\left(2;1\right)\) làm vecto pháp tuyến

Phương trình đường thẳng d: 2(x - 2) + \(\left(y+\dfrac{1}{2}\right)\) = 0

hay 2x + y \(-\dfrac{7}{2}\) = 0

c, d // Δ nên vecto pháp tuyến của Δ là vecto pháp tuyến của d ⇒ d nhận \(\overrightarrow{n}\) = (1; - 2) làm vecto pháp tuyến

d đi qua B (3; 0)

Phương trình d: 1(x-3) - 2y = 0 hay x - 2y - 3 = 0

d, d đi qua A và B thì d nhận \(\overrightarrow{AB}=\left(2;1\right)\) làm vecto chỉ phương ⇒ d nhận (1; -2) làm vecto pháp tuyến

phương trình d: x - 2y - 3 = 0

∆  đi qua hai điểm C và D nên có vecto chỉ phương  CD →  = (1; 2; 3)

Vậy phương trình tham số của  ∆  là

Phương trình chính tắc của  ∆  là:

a) Ta có phương trình đường tròn là \(({C_1}):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 81\)

b) Ta có: \(\overrightarrow {IA}  = (3;3) \Rightarrow IA = 3\sqrt 2  = R\)

Suy ra phương trình đường tròn là; \({C_2}:{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 18\)

c) Vì tâm đường tròn nằm trên đường thẳng \(4x + y - 16 = 0\) nên có tọa độ \(I\left( {a;16 - 4a} \right)\)

Ta có: \(IA = \sqrt {{{\left( {a - 4} \right)}^2} + {{\left( {16 - 4a - 1} \right)}^2}} ,IB = \sqrt {{{\left( {a - 6} \right)}^2} + {{\left( {16 - 4a - 5} \right)}^2}} \)

A, B thuộc đường tròn nên \(IA = IB \Rightarrow \sqrt {{{\left( {a - 4} \right)}^2} + {{\left( {16 - 4a - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {a - 6} \right)}^2} + {{\left( {16 - 4a - 5} \right)}^2}} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {a - 4} \right)^2} + {\left( {16 - 4a - 1} \right)^2} = {\left( {a - 6} \right)^2} + {\left( {16 - 4a - 5} \right)^2}\\ \Rightarrow {\left( {a - 4} \right)^2} + {\left( {15 - 4a} \right)^2} = {\left( {a - 6} \right)^2} + {\left( {11 - 4a} \right)^2}\\ \Rightarrow  - 28a =  - 84 \Rightarrow a = 3\end{array}\)

Suy ra tâm đường tròn là \(I(3;4)\), bán kính \(R = IA = \sqrt {10} \)

Phương trình đường tròn trên là \(({C_3}):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 10\)

d) Giả sử phương trình đường tròn có dạng \({x^2} + {y^2} - 2mx - 2ny + p = 0\) (với tâm \(I(m;n),R = \sqrt {{m^2} + {n^2} - p} \))

Đường tròn đi qua gốc tọa độ và cắt 2 trục tọa độ tại các điểm có hoành độ a và tung độ là b nên ta có hệ phương trình:

Ta có điều kiện \(a,b \ne 0\), vì khi bằng 0 thì trùng với gốc tọa độ

\(\left\{ \begin{array}{l}{0^2} + {0^2} - 2m.0 - 2n.0 + p = 0\\{a^2} + {0^2} - 2ma - 2n.0 + p = 0\\{0^2} + {b^2} - 2m.0 - 2nb + p = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}p = 0\\{a^2} - 2ma = 0\\{b^2} - 2nb = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}p = 0\\m = \frac{a}{2}\\n = \frac{b}{2}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình chính tắc của đường tròn trên là \({x^2} + {y^2} - ax - by = 0\)

Phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vecto chỉ phương

a → = (3; 3; 1) là: 

Phương trình chính tắc của  ∆ là:

a: (Δ)//d nên Δ: -x+2y+c=0

=>VTPT là (-1;2)

=>VTCP là (2;1)

PTTS là:
x=3+2t và y=1+t

b: (d): -x+2y+1=0

=>Δ: 2x+y+c=0

Thay x=4 và y=-2 vào Δ, ta được:

c+8-2=0

=>c=-6

∆  ⊥ ( α ) ⇒  a ∆ → = a α → = (2; −1; 1)

Phương trình tham số của  ∆  là

Phương trình chính tắc của  ∆  là: