a) Ta có: \(M=\dfrac{8x+1}{4x-5}=\dfrac{8x-10+11}{4x-5}=\dfrac{2\left(x-5\right)+11}{4x-5}=2+\dfrac{11}{4x-5}\)

Để M nhận giá trị nguyên thì \(2+\dfrac{11}{4x-5}\) nhận giá trị nguyên

\(\Rightarrow\dfrac{11}{4x-5}\) nhận giá trị nguyên

\(\Rightarrow11⋮4x-5\)

Vì \(x\in Z\) nên \(4x-5\in Z\)

\(\Rightarrow4x-5\inƯ\left(11\right)=\left\{\pm1;\pm11\right\}\)

\(\Rightarrow x\in\left\{1;\pm1,5;4\right\}\)

Vậy \(x\in\left\{1;4\right\}\) thỏa mãn \(x\in Z\).

b) Ta có: \(A=\dfrac{5}{4-x}\). ĐK: \(x\ne4\)

Nếu 4 - x < 0 thì x > 4 \(\Rightarrow A>0\)

       4 - x > 0 thì x < 4 \(\Rightarrow A< 0\)

Để A đạt GTLN thì 4 - x là số nguyên dương nhỏ nhất

\(\Rightarrow4-x=1\Rightarrow x=3\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{5}{4-3}=5\)

Vậy MaxA = 5 tại x = 3

c) \(B=\dfrac{8-x}{x-3}\). ĐK: \(x\ne3\).

Ta có: \(B=\dfrac{8-x}{x-3}=\dfrac{-\left(x-8\right)}{x-3}=\dfrac{-\left(x-3\right)+5}{x-3}=\dfrac{5}{x-3}-1\)

Để B đạt giá trị nhỏ nhất thì \(\dfrac{5}{x-3}-1\) nhỏ nhất

\(\Rightarrow\dfrac{5}{x-3}\) nhỏ nhất

Nếu x - 3 > 0 thì x > 3 \(\Rightarrow\dfrac{5}{x-3}>0\) 

       x - 3 < 0 thì x < 3 \(\Rightarrow\dfrac{5}{x-3}< 0\)

Để \(\dfrac{5}{x-3}\) nhỏ nhất thì x - 3 là số nguyên âm lớn nhất

\(\Rightarrow x-3=-1\Rightarrow x=2\)

\(\Rightarrow B=\dfrac{8-2}{2-3}=-6\)

Vậy MaxB = -6 tại x = 2.

a) Để M nhận giá trị nguyên thì \(8x+1⋮4x-1\)

\(\Leftrightarrow8x-2+3⋮4x-1\)

mà \(8x-2⋮4x-1\)

nên \(3⋮4x-1\)

\(\Leftrightarrow4x-1\inƯ\left(3\right)\)

\(\Leftrightarrow4x-1\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)

\(\Leftrightarrow4x\in\left\{2;0;4;-2\right\}\)

\(\Leftrightarrow x\in\left\{\dfrac{1}{2};0;1;-\dfrac{1}{2}\right\}\)

mà x là số nguyên

nên \(x\in\left\{0;1\right\}\)

Vậy: \(x\in\left\{0;1\right\}\)

Lời giải:

$B=\frac{(x+1)+1}{x+1}=1+\frac{1}{x+1}$

Để $B$ nguyên thì $\frac{1}{x+1}$ nguyên. 

Với $x$ nguyên, để $\frac{1}{x+1}$ nguyên thì $1\vdots x+1$

$\Rightarrow x+1\in\left\{\pm 1\right\}$

$\Rightarrow x\in\left\{0;-2\right\}$

Với $x$ nguyên, để $\frac{5}{2x+7}$ nguyên thì:

$5\vdots 2x+7$

$\Rightarrow 2x+7\in\left\{\pm 1;\pm 5\right\}$

$\Rightarrow x\in\left\{-3;-4;-1;-6\right\}$

B=\(\dfrac{x+2}{x+1}=1\dfrac{1}{x+1}\)(x khác -1)

=> Để B nguyên thì 1 chia hết cho x+1

=> x+1 ∈Ư(1)={1,-1}

Vậy để B nguyên thì x∈{0,-2}

C=\(\dfrac{5}{2x+7}\)(x khác -7/2)

Để C nguyên thì 5 chia hết cho 2x+7

=>2x+7∈Ư(5)={1,-1,5,-5}

Để C nguyên thì x∈{-3,-4,-1,-6}

Để B=\(\dfrac{x+2}{x+1}\) là số nguyên thì x+2 ⋮ x+1

x+2 ⋮ x+1

⇒x+1+1 ⋮ x+1

⇒1 ⋮ x+1

Ta có bảng:

x+1=-1 ➜x=-2 

x+1=1 ➜x=0

Vậy x ∈ {-2;0}

Để C= \(\dfrac{5}{2x+7}\) là số nguyên thì 5 ⋮ 2x+7 

5 ⋮ 2x+7

⇒2x+7 ∈ Ư(5)={-5;-1;1;5}

Ta có bảng giá trị:

2x+7=-5 ➜x=-6

2x+7=-1 ➜x=-4

2x+7=1 ➜x=-3

2x+7=5 ➜x=-1

Vậy x ∈ {-6;-4;-3;-1}

Chúc bạn học tốt!

+ Thông thường biểu thức A sẽ có dạng  trong đó f(x) và g(x) là các đa thức và g(x) ≠ 0

+ Cách làm:

- Bước 1: Tách về dạng  trong đó m(x) là một biểu thức nguyên khi x nguyên và k có giá trị là số nguyên

- Bước 2: Để A nhận giá trị nguyên thì nguyên hay  nghĩa là g(x) thuộc tập ước của k

- Bước 3: Lập bảng để tính các giá trị của x

- Bước 4: Kết hợp với điều kiện đề bài, loại bỏ những giá trị không phù hợp, sau đó kết luận bài toán

+ Đây là một dạng nâng cao hơn của dạng bài tập tìm gá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên bởi ta chưa xác định giá trị của biến x có nguyên hay không để biến đổi biểu thức A về dạng . Bởi vậy, để làm được dạng bài tập này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

\(Q=\dfrac{x+3-x+7}{2x+1}=\dfrac{10}{2x+1}\in Z\\ \Leftrightarrow2x+1\inƯ\left(10\right)=\left\{-10;-5;-2;-1;1;2;5;10\right\}\\ \Leftrightarrow x\in\left\{-3;-1;0;2\right\}\left(x\in Z\right)\)

Lời giải:

Để $A$ nguyên thì \(x-3\vdots 2x+3\)

\(\Leftrightarrow 2(x-3)\vdots 2x+3\)

\(\Leftrightarrow 2x-6\vdots 2x+3\Leftrightarrow 2x+3-9\vdots 2x+3\)

\(\Leftrightarrow 9\vdots 2x+3\Rightarrow 2x+3\in\left\{\pm 1;\pm 3;\pm 9\right\}\)

\(\Rightarrow x\in \left\{-2; -1; 0; -3; -6; 3\right\}\)

a: Để A nguyên thì \(\sqrt{x}-3⋮\sqrt{x}+1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+1\in\left\{1;2;4\right\}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\in\left\{0;1;3\right\}\)

hay \(x\in\left\{0;1;9\right\}\)

Bài 1: 

a: \(x^2+5x=x\left(x+5\right)\)

Để biểu thức này âm thì \(x\left(x+5\right)< 0\)

hay -5<x<0

b: \(3\left(2x+3\right)\left(3x-5\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow-\dfrac{3}{2}< x< \dfrac{5}{3}\)

Bài 2: 

a: \(2y^2-4y>0\)

\(\Leftrightarrow y\left(y-2\right)>0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y>2\\y< 0\end{matrix}\right.\)

b: \(5\left(3y+1\right)\left(4y-3\right)>0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y>\dfrac{3}{4}\\y< -\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

a: ĐKXĐ: x<>-1

b: \(P=\left(1-\dfrac{x+1}{x^2-x+1}\right)\cdot\dfrac{x^2-x+1}{x+1}\)

\(=\dfrac{x^2-x+1-x-1}{x^2-x+1}\cdot\dfrac{x^2-x+1}{x+1}=\dfrac{x^2-2x}{x+1}\)

c: P=2

=>x^2-2x=2x+2

=>x^2-4x-2=0

=>\(x=2\pm\sqrt{6}\)