\(\frac{4ab}{1+ab}\le\frac{4ab}{2\sqrt{ab}}=2\sqrt{ab}\le a+b\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=1 

\(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{2}{ab}+4ab=\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\right)+\frac{3}{2ab}+4ab\)

\(=\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\right)+\left(\frac{3}{2ab}+24ab\right)-20ab\)

\(\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+2\sqrt{\frac{3}{2ab}.24ab}-\frac{20\left(a+b\right)^2}{4}\ge11\) (sử dụng BĐT Cô si và giả thiết \(a+b\le1\))

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

vào tcn của tui ấn vào Thông kê hỏi đáp kéo xuống

là thế nào bạn ơi

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số a và b không âm:

\(\left(a+b\right)\left(ab+1\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{ab}=4\left(\sqrt{ab}\right)^2=4ab\)(đpcm)

Áp dụng BDT Cô-si: \(x+y\ge2\sqrt{xy}\)

\(\Rightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\\ ab+1\ge2\sqrt{ab}\\ \Rightarrow\left(a+b\right)\left(ab+1\right)\ge2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{ab}=4ab\left(đpcm\right)\)

\(A=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{ab}+4ab=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{2ab}+8ab-4ab\ge\dfrac{4}{a^2+b^2+2ab}+2\sqrt{\dfrac{1}{2}.8}-\dfrac{4.\left(a+b\right)^2}{4}=\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}+4-\left(a+b\right)^2\ge4+4-1=7\Rightarrow minA=7\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)