Các bạn và thầy cô hỗ trợ cho mình câu này ạ.
Thầy cô và các bạn hỗ trợ em bài này ạ.
Với n=0 \(\Rightarrow\) phương trình có 2 nghiệm duy nhất là \(\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{1}{2}\\y=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
Với n \(\ne0\)
Để phương trình có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow\dfrac{n}{2}\ne\dfrac{2}{n}\Rightarrow n^2\ne4\Rightarrow n\ne\pm2\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\forall n\ne\pm2\)
Em xin phép nhờ quý thầy cô hỗ trợ cho em bài này với ạ
Thực hiện lần lượt BĐT cô-si 3 số cho từng bộ 3 vế trái, ví dụ:
\(\dfrac{1}{a^3}+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{a^3b^3c^3}}=\dfrac{3}{abc}\)
Làm tương tự, sau đó cộng vế và quy đồng vế phải là sẽ được BĐT cần chứng minh
Tìm tất cả các số nguyên tố \(p\) sao cho \(8.p^2+1\) là số nguyên tố
P/s: Em xin phép nhờ quý thầy cô giáo và các bạn yêu toán hỗ trợ giúp đỡ em với ạ!
Em cám ơn nhiều ạ!
Với p = 2 => 8p2 +1 = 33 (loại)
Với p = 3 => 8p2 + 1 = 73 (tm)
Với p > 3 => Đặt p = 3k + 1 ; p = 3k + 2 (k \(\in Z^+\))
Với p = 3k + 1 => 8p2 + 1 = 8(3k + 1)2 + 1
= 72k2 + 48k + 9 = 3(24k2 + 16k + 3) \(⋮3\)(loại)
Với p = 3k + 2 => 8p2 + 1 = 8(3k + 2)2 + 1
= 72k2 + 96k + 33 = 3(24k2 + 32k + 11) \(⋮3\)(loại)
Vậy p = 3 thì 8p2 + 1 \(\in P\)
- Với \(p=2\) ko thỏa mãn
- Với \(p=3\Rightarrow8p^2+1=73\) là số nguyên tố (thỏa mãn)
- Với \(p>3\Rightarrow p^2\equiv1\left(mod3\right)\)
\(\Rightarrow p^2=3k+1\)
\(\Rightarrow8p^2+1=8\left(3k+1\right)+1=24k+9=3\left(8k+3\right)\) là số lớn hơn 3 và chia hết cho 3
\(\Rightarrow8p^2+1\) là hợp số (ktm)
Vậy \(p=3\) là SNT duy nhất thỏa mãn yêu cầu
Em xin phép nhờ quý thầy cô hỗ trợ giúp em bài này với ạ
Tổng của các số tròn chục nhỏ hơn 90
CÁc số tròn chục nhỏ hơn 90 là :
10 ; 20 ; 30 ; 40 ; 50 ; 60 ; 70 ; 80
Tổng của các số tròn chục nhỏ hơn 90 là :
10 + 20 + ... + 80 = ( 80 + 10 ) x 8 : 2
= 90 x 8 : 2 = 720 : 2 = 360
Tìm ba số nguyên tố \(p;q;r\) thỏa mãn : \(p^2+q^2+r^2=5054\)
P/s: Em nhờ quý thầy cô giáo và các bạn yêu toán hỗ trợ giúp đỡ em tham khảo với ạ!
Em cám ơn nhiều lắm ạ!
Nếu p;q;r đều lẻ hoặc có đúng 1 số trong 3 số là lẻ \(\Rightarrow p^2+q^2+r^2\) lẻ, trong khi 5054 chẵn (ktm)
\(\Rightarrow\) Cả p;q;r đều chẵn (loại do \(2^2+2^2+2^2< 5054\)) hoặc có đúng 1 số trong 3 số là chẵn
Do vai trò 3 số như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử r chẵn \(\Rightarrow r=2\)
\(\Rightarrow p^2+q^2=5050\)
Nếu p; q đều chia hết cho 3 \(\Rightarrow p=q=3\Rightarrow ktm\)
Nếu p;q đều ko chia hết cho 3 \(\Rightarrow p^2\) và \(q^2\) đều chia 3 dư 1
\(\Rightarrow p^2+q^2\) chia 3 dư 2 trong khi \(5050\) chia 3 dư 1 (ktm)
\(\Rightarrow\) Có đúng 1 số trong p; q chia hết cho 3, ko mất tính tổng quát, giả sử là p \(\Rightarrow p=3\)
\(\Rightarrow q^2=5050-9=5041\Rightarrow q=71\) là SNT (thỏa mãn)
Vậy bộ 3 số nguyên tố thỏa mãn là \(\left(2;3;71\right)\) và các hoán vị
Vì tổng của p2 + q2 + r2 \(⋮2\)
=> \(\left[{}\begin{matrix}p⋮2\\q⋮2\\r⋮2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}p=2\\q=2\\r=2\end{matrix}\right.\);
Giả sử r = 2 => p2 + q2 = 5050 ; p;q lẻ
=> Chữ số tận cùng p2 chỉ có thể là 9;1
=> Chư số tận cùng p là 1;3;7;9
mà p2 + q2 = 5050 => q2 \(< 5050\) ; p2 < 5050
<=> q < 72 (1) ; p < 72 (2)
Lại có p2 + q2 = 5050
<=> 2pq = 5050 - (p - q)2 < 5050
<=> pq \(< 2525\) (3)
Từ (1) ; (3) => p > 35 (4)
Từ (2) ; (4) => 35 < p < 72
<=> p \(\in\left\{37;41;43;47;53;59;61;67;71\right\}\)
Thử từng giá trị p => tìm được p = 71 thỏa mán
thay vào pt gốc được q = 3 (tm)
Vậy các cặp (p;q;r) thỏa là (71;3;2) và các hoán vị
Giả sử p<q<r.
Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất.
Số lẻ có dạng 2k+1 (k\(\in\)N), bình phương của số lẻ là (2k+1)2=4k2+4k+1 là một số lẻ.
Mà p2+q2+r2 là một số chẵn (=5054), suy ra p=2.
q2+r2=5050 \(\Rightarrow\) q2<2525 \(\Rightarrow\) 3\(\le\)q<50.
Với q=3 \(\Rightarrow\) r=71 (nhận).
Vậy ba số nguyên tố cần tìm là 2, 3 và 71.
Cho \(x;y\) là các số thực thỏa mãn : \(5x^2+2xy+2y^2=9\).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\dfrac{x-1`}{4x-y-9}\).
P/s: Em xin phép nhờ quý thầy cô giáo và các bạn hỗ trợ giúp đỡ với ạ!
Em cám ơn nhiều ạ!
Em xin phép nhờ quý thầy cô và các bạn giúp đỡ với ạ!
Chia sẻ với thầy cô và các bạn về những thuận lợi, khó khăn trong quá trình rèn luyện tính trách nhiệm và hỗ trợ người cùng tham gia.
Rèn luyện tính kiên trì (Học 5 phút là bấm điện thoại) => Cất điện thoại nơi xa tầm nhìn, và tắt mọi âm báo
Cho các số thực dương \(a;b;c\) thỏa mãn \(a.b.c=1\). Chứng minh rằng :
\(\dfrac{a}{a+b^4+c^4}+\dfrac{b}{b+c^4+a^4}+\dfrac{c}{c+a^4+b^4}\le1\)
P/s: Em xin phép nhờ quý thầy cô giáo và các bạn hỗ trợ giúp đỡ với ạ!
Em cám ơn nhiều ạ!
Ta có:
\(x^4+y^4\ge\dfrac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)^2=\dfrac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\dfrac{1}{2}.2xy\left(x^2+y^2\right)=xy\left(x^2+y^2\right)\)
Áp dụng:
\(P\le\dfrac{a}{a+bc\left(b^2+c^2\right)}+\dfrac{b}{b+ca\left(c^2+a^2\right)}+\dfrac{c}{c+ab\left(a^2+b^2\right)}\)
\(P\le\dfrac{a^2}{a^2+abc\left(b^2+c^2\right)}+\dfrac{b^2}{b^2+abc\left(c^2+a^2\right)}+\dfrac{c^2}{c^2+abc\left(a^2+b^2\right)}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Cho các số thực dương \(a;b;c\) thỏa mãn :\(ab+bc+ca=abc\). Chứng minh rằng :
\(\dfrac{1}{a+2b+3c}+\dfrac{1}{b+2c+3a}+\dfrac{1}{c+2a+3b}\le\dfrac{1}{6}\).
P/s: Em xin phép nhờ quý thầy cô và các bạn bè hỗ trợ và giúp đỡ với ạ. Em cám ơn rất nhiều!
\(ab+bc+ca=abc\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\)
Đặt vế trái của BĐT cần chứng minh là P
Ta có:
\(\dfrac{1}{a+2b+3c}=\dfrac{1}{a+b+b+c+c+c}\le\dfrac{1}{6^2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+2b+3c}\le\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}\right)\)
Tương tự:
\(\dfrac{1}{b+2c+3a}\le\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c}+\dfrac{3}{a}\right)\) ; \(\dfrac{1}{c+2a+3b}\le\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{2}{a}+\dfrac{3}{b}\right)\)
Cộng vế:
\(P\le\dfrac{1}{36}\left(\dfrac{6}{a}+\dfrac{6}{b}+\dfrac{6}{c}\right)=\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\dfrac{1}{6}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)