Cho tam giác ABC. CMR
\(a.\sin A+b.\sin B+c.\sin C=\dfrac{2\left(m_a^2+m_b^2+m_c^2\right)}{3R}\)
Những câu hỏi liên quan
Cho tam giác ABC có bàn kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1 và:
\(\dfrac{\sin A}{m_a}+\dfrac{\sin B}{m_b}+\dfrac{\sin C}{m_c}=\sqrt{3}\)
với \(m_a,m_b,m_c\)là độ dài đường trung tuyến tương ứng kẻ từ A,B,C.CMR:tam giác ABC đều
Cho tam giác ABC, gọi ma, mb, mc và R là độ dài ba đường trung tuyến xuất phát từ A, B, C và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC. Chứng minh rằng: \(3\left(m_a+m_b+m_c\right)R_m\ge2\left(m_a^2+m_b^2+m_c^2\right)\)
Cho tam giác ABC có 3 đường trung tuyến là \(m_a,m_b,m_c\).Đặt \(t=\frac{m_a+m_b+m_c}{2}\)
CMR: \(S_{ABC}=\frac{3}{4}\sqrt{t\left(t-m_a\right)\left(t-m_b\right)\left(t-m_c\right)}\)
22 tháng 10 2023 lúc 23:51
Cho tam giác ABC. Chứng minh \(\dfrac{\sin^3\dfrac{B}{2}}{\cos\left(\dfrac{A+C}{2}\right)}\)+ \(\dfrac{\cos^3\dfrac{B}{2}}{sin\left(\dfrac{A+C}{2}\right)}\)-\(\dfrac{\cos\left(A-C\right)}{\sin B}\).\(\tan B=2\)
Cho tam giác ABCa) CM: left(p-aright)left(p-bright)left(p-cright) dfrac{1}{8}abcb) dfrac{r}{R}ledfrac{1}{2} ( trong đó r là bán kính đg tròn nội tiếp, R là bk đg tròn ngoại tiếp)c) dfrac{a}{m_a}+dfrac{b}{m_b}+dfrac{c}{m_c}ge2sqrt{3} trong đó ma,mb,mc là đg trung tuyến hạ từ các đỉnhd) Gọi la là độ dài đg phân giác xuất phát từ đỉnh A. CMl_a^2dfrac{4bc}{left(b+cright)^2}pleft(p-aright)Cm: b+cgedfrac{a}{2}+sqrt{3}l_a
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC
a) CM: \(\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)< \dfrac{1}{8}abc\)
b) \(\dfrac{r}{R}\le\dfrac{1}{2}\) ( trong đó r là bán kính đg tròn nội tiếp, R là bk đg tròn ngoại tiếp)
c) \(\dfrac{a}{m_a}+\dfrac{b}{m_b}+\dfrac{c}{m_c}\ge2\sqrt{3}\) trong đó ma,mb,mc là đg trung tuyến hạ từ các đỉnh
d) Gọi la là độ dài đg phân giác xuất phát từ đỉnh A. CM
\(l_a^2=\dfrac{4bc}{\left(b+c\right)^2}p\left(p-a\right)\)
Cm: \(b+c\ge\dfrac{a}{2}+\sqrt{3}l_a\)
a, Áp dụng BĐT Cosi:
\(\sqrt{\left(p-a\right)\left(p-b\right)}\le\dfrac{p-a+p-b}{2}=\dfrac{c}{2}\)
\(\sqrt{\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\le\dfrac{p-b+p-c}{2}=\dfrac{a}{2}\)
\(\sqrt{\left(p-c\right)\left(p-a\right)}\le\dfrac{p-c+p-a}{2}=\dfrac{b}{2}\)
\(\Rightarrow\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)\le\dfrac{1}{8}abc\)
Đúng 1
Bình luận (0)
b, \(\dfrac{r}{R}=\dfrac{\dfrac{S_{ABC}}{p}}{\dfrac{abc}{4S_{ABC}}}\)
\(=\dfrac{4S_{ABC}^2}{p.abc}=\dfrac{4.p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{p.abc}\)
\(\le\dfrac{4.p.\dfrac{1}{8}abc}{p.abc}=\dfrac{1}{2}\)
Đúng 1
Bình luận (0)
c, Áp dụng BĐT Cosi:
\(a.m_a=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}a.m_a\)
\(\le\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.\dfrac{\dfrac{3}{4}a^2+m_a^2}{2}\)
\(=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.\left(\dfrac{3}{4}a^2+\dfrac{b^2+c^2}{2}-\dfrac{a^2}{4}\right)\)
\(=\dfrac{\sqrt{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)}{6}\)
\(\Rightarrow a.m_a\le\dfrac{\sqrt{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)}{6};b.m_b\le\dfrac{\sqrt{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)}{6};c.m_c\le\dfrac{\sqrt{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)}{6}\)
Khi đó \(\dfrac{a}{m_a}+\dfrac{b}{m_b}+\dfrac{c}{m_c}\)
\(=\dfrac{a^2}{a.m_a}+\dfrac{b^2}{b.m_b}+\dfrac{c^2}{c.m_c}\)
\(\ge\dfrac{a^2+b^2+c^2}{\dfrac{\sqrt{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)}{6}}=2\sqrt{3}\)
Đúng 1
Bình luận (1)
1. Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng $\sin ^{2} A+\sin ^{2} B-\sin ^{2} C=2\sin A.\sin B.\cos C$.
2. Chứng minh rằng:
a. $\sin \alpha .\sin \left(\dfrac{\pi }{3} -\alpha \right).\sin \left(\dfrac{\pi }{3} +\alpha \right)=\dfrac{1}{4} \sin 3\alpha $
b. $\sin 5\alpha -2\sin \alpha \left({\rm cos} {\rm 4}\alpha +\cos 2\alpha \right)=\sin \alpha $
a, Cho tam giác ABC nhọn. CMR:\(h_a+h_b+h_c\ge9r\) với r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC
b, CM
\(\dfrac{1}{m_a}+\dfrac{1}{m_b}+\dfrac{1}{m_c}\ge\dfrac{2}{R}\)
( \(m_a,m_b,m_c\) là độ dài các đường trug tuyến ứng với cạnh a,b,c và
R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
4) Cho △ABC. Đẳng thức nào \(Sai\) ?
\(A.\sin\left(A+B-2C\right)=\sin3C\)
\(B.\cos\dfrac{B+C}{2}=\sin\dfrac{A}{2}\)
\(C.\sin\left(A+B\right)=\sin C\)
\(D.\cos\dfrac{A+B+2C}{2}=\sin\dfrac{C}{2}\)
cho tam giác ABC có \(a^2+b^2=2c^2\). chứng minh rằng \(m_a+m_b+m_c=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(a-b-c\right)\)
Ta có :
\(m_a=\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}}=\frac{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}{2}=\frac{\sqrt{2b^2+2c^2-\left(2c^2-b^2\right)}}{2}=\frac{\sqrt{3}b}{2}\)
\(m_b=\sqrt{\frac{c^2+a^2}{2}-\frac{b^2}{4}}=\frac{\sqrt{2c^2+2a^2-b^2}}{2}=\frac{\sqrt{2c^2+2a^2-\left(2c^2-a^2\right)}}{2}=\frac{\sqrt{3}a}{2}\)
\(m_c=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}}=\frac{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}{2}=\frac{\sqrt{4c^2-c^2}}{2}=\frac{\sqrt{3}c}{2}\)
\(\Rightarrow m_a+m_b+m_c=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(a+b+c\right)\)
Hình như đề nhầm dấu thì phải