a: Xét (O) có

CM,CA là các tiếp tuyến

nên CM=CA và OC là phân giác của góc MOA(1)

mà OM=OA

nên OC là đường trung trực của MA

=>OC vuông góc với MA tại I

Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

nên DM=DB và OD là phân giác của góc MOB(2)

mà OM=OB

nên OD là trung trực của BM

=>OD vuông góc với BM

Từ (1) và (2) suy ra góc COD=1/2*180=90 độ

=>O nằm trên đường tròn đường kính CD

b: Xét tứ giác MIOK có

góc MIO=góc IOK=góc MKO=90 độ

nên MIOK là hình chữ nhật

=>MO=IK

c: Xét hình thang ABDC có

O,O' lần lượt là trung điểm của AB,CD

nên OO' là đường trung bình

=>OO''//AC

=>OO' vuông góc với AB

=>AB là tiếp tuyến của (O')

1: Xét (O) có

CA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm

CM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm

Do đó: OC là tia phân giác của \(\widehat{MOA}\)

Xét (O) có 

DB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm

DM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm

Do đó: OD là tia phân giác của \(\widehat{MOB}\)

Ta có: \(\widehat{COD}=\widehat{COM}+\widehat{DOM}\)

\(=\left(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}\right)\cdot\dfrac{1}{2}\)

\(=180^0\cdot\dfrac{1}{2}=90^0\)

hay ΔCOD vuông tại O 

Xét (O) có

CA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm

CM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm

Do đó: CM=CA

Xét (O) có

DB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm

DM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm

Do đó: DB=DM

\(AC\cdot BD=CM\cdot MD=OM^2\) không phụ thuộc vào vị trí của M

a: Xét (O) có 

CM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm

CA là tiếp tuyến có A là tiếp điểm

Do đó: CM=CA
Xét (O) có

DM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm

DB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm

Do đó: DM=DB

Ta có: CM+MD=CD

mà CM=CA

và DM=DB

nên CD=CA+DB

a: Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

Xét ΔADB vuông tại A có AC là đường cao

nên \(AD^2=DB\cdot DC\)

b: Xét (O) có

EC là tiếp tuyến

EA là tiếp tuyến

Do đó: EC=EA
=>ΔECA cân tại C

=>góc ECA=góc EAC

\(\Leftrightarrow90^0-\widehat{ECA}=90^0-\widehat{EAC}\)

hay \(\widehat{EDC}=\widehat{ECD}\)

=>ΔECD cân tại E

=>ED=EC
mà EC=EA
nên EA=ED

hay E là trung điểm của AD

a: Xét (O) có
MA,MC là tiếp tuyến

=>MA=MC

mà OA=OC

nên MO là trung trực của AC

=>MO vuông góc AC tại E

góc ADB=1/2*sđ cung AB=90 độ

=>AD vuông góc MB

góc ADM=góc AEM=90 độ

=>AMDE nội tiếp

b: ΔMAB vuông tại A có AD là đường cao

nên MA^2=MD*MB

a: Xét (O) có

DM là tiếp tuyến

DA là tiếp tuyến

Do đó: OD là tia phân giác của góc MOA(1)

Xét (O) có 

EM là tiếp tuyến

EB là tiếp tuyến

Do đó: OE là tia phân giác của góc MOB(2)

Từ (1) và (2) suy ra ΔDOE vuông tại O

C là giao điểm 2 tiếp tuyến tại A và M \(\Rightarrow OC\) là trung trực AM

\(\Rightarrow E\) là trung điểm AM

Tương tự ta có OD là trung trực BM \(\Rightarrow F\) là trung điểm BM

\(\Rightarrow EF\) là đường trung bình tam giác ABM 

\(\Rightarrow EF||AB\Rightarrow ONEF\) là hình thang (1)

Lại có O là trung điểm AB \(\Rightarrow OF\) là đường trung bình tam giác ABM 

\(\Rightarrow OF=\dfrac{1}{2}AM=AE\) 

Mà \(OF||AE\) (cùng vuông góc BM)

\(\Rightarrow AEFO\) là hình bình hành \(\Rightarrow\widehat{OFE}=\widehat{OAE}\)

Mà \(EN=AE=\dfrac{1}{2}AM\Rightarrow\Delta AEN\) cân tại E \(\Rightarrow\widehat{OAE}=\widehat{ANE}\)

\(\widehat{ANE}+\widehat{ONE}=180^0\Rightarrow\widehat{OFE}+\widehat{ONE}=180^0\)

Lại có \(\widehat{ONE}+\widehat{NEF}=180^0\) (2 góc trong cùng phía)

\(\Rightarrow\widehat{OFE}=\widehat{NEF}\)

\(\Rightarrow ONEF\) là hình thang cân

a: Xét tứ giác OBDM có

góc OBD+góc OMD=180 độ

=>OBDM là tư giác nội tiếp

c: Xét ΔKOB và ΔKFE có

góc KOB=góc KFE

góc OKB=góc FKE

=>ΔKOB đồng dạng với ΔKFE
=>KO/KF=KB/KE

=>KO*KE=KB*KF