Đề sai rồi bạn ạ

Phải là Cho M=\(\dfrac{x}{x+y+z}+\dfrac{y}{x+y+t}+\dfrac{z}{y+z+t}+\dfrac{t}{x+z+t}\)

Chứng minh: M¹⁰<1025

Với a,b,c là các số tự nhiên khác 0 và phân số \(\dfrac{a}{b}\)<1, ta luôn có:\(\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+c}\)

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:

\(\dfrac{x}{x+y+z}< \dfrac{x+t}{x+y+z+t}\)

\(\dfrac{y}{x+y+t}< \dfrac{y+z}{x+y+z+t}\)

\(\dfrac{z}{y+z+t}< \dfrac{z+x}{x+y+z+t}\)

\(\dfrac{t}{x+z+t}< \dfrac{t+y}{x+y+z+t}\)

\(\Rightarrow M< \dfrac{x+t}{x+y+z+t}+\dfrac{y+z}{x+y+z+t}+\dfrac{z+x}{x+y+z+t}+\dfrac{t+y}{x+y+z+t}\)

=2

\(\Rightarrow M^{10}< 2^{10}=1024< 1025\)

\(\Rightarrow\)M¹⁰<1025 (đpcm)

TH1: \(x+y+z+t\ne0\) 

Áp dụng t/c dtsbn ta có:

\(\dfrac{x}{y+z+t}=\dfrac{y}{z+t+x}=\dfrac{z}{t+x+y}=\dfrac{t}{x+y+z}=\dfrac{x+y+z+t}{3\left(x+y+z+t\right)}=\dfrac{1}{3}\)\(\dfrac{x}{y+z+t}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow3x=y+z+t\Rightarrow4x=x+y+z+t\\ \dfrac{y}{z+t+x}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow3y=x+z+t\Rightarrow4y=x+y+z+t\\ \dfrac{z}{t+x+y}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow3z=x+y+t\Rightarrow4z=x+y+z+t\\ \dfrac{t}{x+y+z}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow3t=x+y+z\Rightarrow4t=x+y+z+t\)
\(\Rightarrow4x=4y=4z=4t\\ \Rightarrow x=y=z=t\)

\(P=\dfrac{x+y}{z+t}+\dfrac{y+z}{t+x}+\dfrac{z+t}{x+y}+\dfrac{t+x}{y+z}\\ =1+1+1+1\\ =4\)

TH2: \(x+y+z+t=0\) 

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-\left(z+t\right)\\y+z=-\left(x+t\right)\\z+t=-\left(x+y\right)\\t+x=-\left(y+z\right)\end{matrix}\right.\)

\(P=\dfrac{x+y}{z+t}+\dfrac{y+z}{t+x}+\dfrac{z+t}{x+y}+\dfrac{t+x}{y+z}\\ =\dfrac{-\left(z+t\right)}{z+t}+\dfrac{-\left(t+x\right)}{t+x}+\dfrac{-\left(x+y\right)}{x+y}+\dfrac{-\left(y+z\right)}{y+z}\\ =-1-1-1-1\\ =-4\)

Từ gt của đề bài :

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\dfrac{x}{y+z+t}\text{=}\dfrac{y}{z+t+x}\text{=}\dfrac{z}{x+y+t}\text{=}\dfrac{t}{x+y+z}\text{=}\dfrac{x+y+z+t}{3.\left(x+y+z+t\right)}\left(\cdot\right)\)

Xét TH : \(x+y+z+t\text{=}0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-\left(z+t\right)\\y+z\text{=}-\left(x+t\right)\\z+t\text{=}-\left(x+y\right)\\x+t\text{=}-\left(y+z\right)\end{matrix}\right.\)

Do đó : \(P\text{=}-1+-1+-1+-1\)

\(P\text{=}-4\in Z\)

TH : \(x+y+z+t\ne0\)

\(\Rightarrow\left(\cdot\right)\text{=}\dfrac{1}{3}\)

Do đó : \(\dfrac{x}{y+z+t}\text{=}\dfrac{1}{3}\Rightarrow3x\text{=}y+z+t\)

\(\Rightarrow4x\text{=}x+y+z+t\)

\(CMTT:\left\{{}\begin{matrix}4y\text{=}x+y+z+t\\4z\text{=}x+y+z+t\\4t\text{=}x+y+z+t\end{matrix}\right.\)

Mà : \(\dfrac{x}{y+z+t}\text{=}\dfrac{y}{x+z+t}\text{=}\dfrac{z}{x+y+t}\text{=}\dfrac{t}{x+y+z}\)

\(\Rightarrow4x\text{=}4y\text{=}4z\text{=}4t\)

\(\Rightarrow x\text{=}y\text{=}z\text{=}t\)

Do đó : \(P\text{=}4\in Z\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Kham khảo :

https://olm.vn/cau-hoi/cho-cac-so-thuc-xyzt-thoa-mandfracxyztdfracyztxdfracztxydfractxyz-cmr-p-dfracxyztdfracyztx.8377111224063.

Bạn vuốt xuống dưới để xem đáp án nha.

Ta có:

\(\dfrac{x}{x+y+z+t}< \dfrac{x}{x+y+z}< \dfrac{x}{x+y}\)

\(\dfrac{y}{x+y+z+t}< \dfrac{y}{x+y+t}< \dfrac{y}{x+y}\)

\(\dfrac{z}{x+y+z+t}< \dfrac{z}{y+z+t}< \dfrac{z}{z+t}\)

\(\dfrac{t}{x+y+z+t}< \dfrac{t}{x+z+t}< \dfrac{t}{z+t}\)

Cộng vế với vế ta được:

\(\Rightarrow\dfrac{x+y+z+t}{x+y+z+t}< \dfrac{x}{x+y+z}+\dfrac{y}{x+y+t}+\dfrac{z}{y+z+t}+\dfrac{t}{x+z+t}< \dfrac{x+y}{x+y}+\dfrac{z+t}{z+t}\)

\(\Rightarrow1< \dfrac{x}{x+y+z}+\dfrac{y}{x+y+t}+\dfrac{z}{y+z+t}+\dfrac{t}{x+z+t}< 2\)

\(\Rightarrow1< M< 2\)

=> M không là số tự nhiên

Sai đề chỗ p/s cuối. Xét 2 t/h.

Oáp Z_z có gì mai ns nhé!

mk ko làm cụ thể nhưng chỉ nêu hướng lm thôi nhé

bn áp dụng tích chất dãy tỉ số bằng nhau vào giả thiết, ra 1/3

sau đó suy ra x = (y+z+t)/3, y,z,t cũng làm tương tự

sau đó bạn quy đồng các mẫu của P

sau khi phân tích bn sẽ lấy kq vừa tính đc phần trên

mk nghĩ kết quả ra là 15 nhưng có thể sai

chúc bn may mắn

ĐK: y+z+t,z+t+x,t+x+y,x+y+z khác 0

x+y+z+t khác 0

\(\dfrac{x}{y+z+t}=\dfrac{y}{z+t+x}=\dfrac{z}{t+x+y}=\dfrac{t}{x+y+z}=\dfrac{x+y+z+t}{3\left(x+y+z+t\right)}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow3x=y+z+t;3z=t+x+y;3y=z+t+x;3t=x+y+z\Leftrightarrow x=y=z=t\)

từ đây suy ra P=4

Ta có: \(\dfrac{x}{y+z+t}=\dfrac{y}{z+t+x}=\dfrac{z}{y+t+x}=\dfrac{t}{y+x+z}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{y+z+t}+1=\dfrac{y}{z+t+x}+1=\dfrac{z}{y+t+x}+1=\dfrac{t}{y+x+z}+1\)

\(\Rightarrow\dfrac{x+y+z+t}{y+z+t}=\dfrac{x+y+z+t}{z+t+x}=\dfrac{x+y+z+t}{y+t+x}=\dfrac{x+y+z+t}{y+x+z}\)+) Xét \(x+y+z+t=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-\left(z+t\right)\\y+z=-\left(x+t\right)\\z+t=-\left(x+y\right)\\x+t=-\left(y+z\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A=-1\)

+) Xét \(x+y+z+t\ne0\Rightarrow x=y=z=t\)

\(\Rightarrow A=1\)

Vậy A = -1 hoặc A = 1

Ta có:\(\dfrac{x}{y+z+t}+1=\dfrac{y}{z+t+x}+1=\dfrac{z}{y+t+x}+1=\dfrac{t}{y+x+z}+1\)\(\Rightarrow\dfrac{x+y+z+t}{y+z+t}=\dfrac{x+y+z+t}{z+t+x}=\dfrac{x+y+z+t}{t+x+y}=\dfrac{x+y+z+t}{x+y+z}\)

Nếu x+y+z+t\(\ne\)0 thì y+z+t=z+t+x=t+x+y=x+y+z

=>x=y=z=t nên P=1+1+1+1=4

Nếu X+y+z+t=0 thì P=-4

Ta có :

\(\dfrac{x}{y+z+t}=\dfrac{y}{z+t+x}=\dfrac{z}{t+x+y}=\dfrac{t}{x+y+z}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{y+z+t}+1=\dfrac{y}{z+t+x}+1=\dfrac{z}{t+x+y}+1=\dfrac{t}{x+y+z}+1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x+y+z+t}{y+z+t}=\dfrac{x+y+z+t}{z+t+x}=\dfrac{x+y+z+t}{t+x+y}=\dfrac{x+y+z+t}{x+y+z}\)

+) Nếu \(x+y+z+t\ne0\)

\(\Leftrightarrow y+z+t=z+t+x=t+x+y=x+y+z\)

\(\Leftrightarrow x=y=z=t\ne0\)

Mà \(P=\dfrac{x+y}{z+t}+\dfrac{y+z}{t+x}+\dfrac{z+t}{x+y}=\dfrac{t+x}{y+z}\)

\(\Leftrightarrow P=\dfrac{x+x}{x+x}+\dfrac{x+x}{x+x}+\dfrac{x+x}{x+x}+\dfrac{x+x}{x+x}\)

\(\Leftrightarrow P=\dfrac{2x}{2x}+\dfrac{2x}{2x}+\dfrac{2x}{2x}+\dfrac{2x}{2x}\)

\(\Leftrightarrow P=4\)

+) Nếu \(x+y+z+t=0\)

\(\Leftrightarrow x+y=-\left(z+t\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x+y}{z+t}=\dfrac{-\left(z+t\right)}{z+t}=-1\)

Tương tự ta có :

\(\dfrac{y+z}{t+x}=\dfrac{z+t}{x+y}=\dfrac{t+x}{y+z}=-1\)

\(\Leftrightarrow P=-4\)

Vậy ..