Ta có:

 \(y'=\left(-2x^2\right)'=-4x\Rightarrow y'\left(-1\right)=-4\cdot\left(-1\right)=4\)

\(y_0=-2\cdot\left(-1\right)^2=-2\)

Phương trình tiếp tuyến là: \(y=4\left(x+1\right)-2=4x+2\)

Ta có \(y=x^4-4x^3+4x^2\Rightarrow4x^3-12x^2+8x\)

a. PTHD giao điểm của (C) và Parabol \(y=x^2\) :

\(x^4-4x^3+4x^2=x^2\Leftrightarrow x^2\left(x^2-4x+3\right)=0\)

                                \(\Leftrightarrow x=0;x=1;x=3\)

* \(x=0\) ta có phương trình tiếp tuyến là \(y=0\)

* \(x=2\) ta có phương trình tiếp tuyến là \(y=1\)

* \(x=3\) ta có phương trình tiếp tuyến là \(y=24x-63\)

b. Gọi d là đường thẳng đi qua A, có hệ số góc k \(\Rightarrow d:y=k\left(x-2\right)\)

d là tiếp tuyến \(\Leftrightarrow\begin{cases}\left(2-x\right)^2x^2-k\left(x-2\right)\\4x\left(x-2\right)\left(x-1\right)=k\end{cases}\) có nghiệm

Thay k vào phương trình thứ nhất ta có :

\(x^4-4x^3+4x^2=\left(x-2\right)\left(4x^3-12x^2+8x\right)\)

\(\Leftrightarrow x\left(3x-4\right)\left(x-2\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x=0;x=2;x=\frac{4}{3}\)

* \(x=0\Rightarrow k=0\Rightarrow\) Phương trình tiếp tuyến \(y=0\)

* \(x=2\Rightarrow k=0\Rightarrow\) Phương trình tiếp tuyến \(y=0\)

Với \({x_0}\) bất kì, ta có:

\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - {x^2} + 4x + x_0^2 - 4{x_0}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - \left( {{x^2} - x_0^2} \right) + 4\left( {x - {x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( { - x - {x_0} + 4} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( { - x - {x_0} + 4} \right) =  - 2{x_0} + 4\)

Vậy hàm số \(y =  - {x^2} + 4x\) có đạo hàm là hàm số \(y' =  - 2x + 4\)

a) Ta có \(y'\left( 1 \right) =  - 2.1 + 4 = 2\)

Ngoài ra , \(f\left( 1 \right) = 3\) nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

\(y - 3 = 2\left( {x - 1} \right)\) hay \(y = 2x + 1\)

b) Ta có \({y_0} = 0\) nên \( - x_0^2 + 4{x_0} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = 4\end{array} \right.\)

+) \({x_0} = 0,{y_0} = 0\) nên \(y'\left( 0 \right) = 4\) do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y = 4x\)

+) \({x_0} = 4,{y_0} = 0\) nên \(y'\left( 4 \right) =  - 4\) do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là

\(y =  - 4\left( {x - 4} \right)\) hay \(y =  - 4x + 16\)

1) \(y'=-2x^3-2x\)

Với x=0, ta có: \(y'\left(0\right)=0\)

⇒ Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(0;2) là: y=0(x-0)+2=2

2) \(y'=-\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}\)

Với x=2, \(y'\left(2\right)=-\dfrac{1}{\left(2+1\right)^2}=-\dfrac{1}{9}\)

⇒ Phương trình tiếp tuyến tại điểm (2;\(\dfrac{4}{3}\)) là: \(y=-\dfrac{1}{9}\left(x-2\right)+\dfrac{4}{3}=-\dfrac{1}{9}x+\dfrac{14}{9}\)

\(y'=-x^2+4x\)

\(y'\left(-2\right)=-4-8=-12\)

\(y\left(-2\right)=\dfrac{29}{3}\)

Phương trình tiếp tuyến:

\(y=-12\left(x+2\right)+\dfrac{29}{3}\Leftrightarrow y=-12x-\dfrac{43}{3}\)

\(y=\dfrac{2x+2}{x-1}\Rightarrow y'=\dfrac{-4}{\left(x-1\right)^2}\)

a. \(y'\left(2\right)=-4\)

Phương trình tiếp tuyến: \(y=-4\left(x-2\right)+4\Leftrightarrow y=-4x+12\)

b. Pt hoành độ giao điểm:

\(\dfrac{2x+2}{x-1}=2x-1\Leftrightarrow2x^2-5x-1=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{5-\sqrt{33}}{4}\\x=\dfrac{5+\sqrt{33}}{4}\end{matrix}\right.\)

\(y'\left(\dfrac{5-\sqrt{33}}{4}\right)=-\dfrac{17+\sqrt{33}}{8}\) ; \(y'\left(\dfrac{5+\sqrt{33}}{4}\right)=\dfrac{-17+\sqrt{33}}{8}\)

\(y\left(\dfrac{5-\sqrt{33}}{4}\right)=\dfrac{3-\sqrt{33}}{2}\) ; \(y\left(\dfrac{5+\sqrt{33}}{4}\right)=\dfrac{3+\sqrt{33}}{2}\)

Có 2 tiếp tuyến thỏa mãn: 

\(\left[{}\begin{matrix}y=\dfrac{-17-\sqrt{33}}{8}\left(x-\dfrac{5-\sqrt{33}}{4}\right)+\dfrac{3-\sqrt{33}}{2}\\y=\dfrac{-17+\sqrt{33}}{8}\left(x-\dfrac{5+\sqrt{33}}{4}\right)+\dfrac{3+\sqrt{33}}{2}\end{matrix}\right.\)

Đề bài cho số liệu thật kì quặc

a, Phương trình tiếp tuyến đi qua M: \(ax+by-3a+b=0\left(\Delta\right)\)

Đường tròn đã cho có tâm \(I=\left(1;-2\right)\) bán kính \(R=\sqrt{5}\)

Ta có: \(d\left(I;\Delta\right)=\dfrac{\left|a-2b-3a+b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sqrt{5}\)

\(\Leftrightarrow\left(2a+b\right)^2=5\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2b\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a=2b\)

\(\Rightarrow\Delta:2x+y-5=0\)

b, Phương trình tiếp tuyến: \(\left(d\right)2x-y+m=0\left(m\in R\right)\)

Ta có: \(d\left(I;d\right)=\dfrac{\left|2.1-1.\left(-2\right)+m\right|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\)

\(\Leftrightarrow\left|m+4\right|=5\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-9\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}d:2x-y+1=0\\d:2x-y-9=0\end{matrix}\right.\)