Cho \(0 < a \ne 1\). Tính giá trị của biểu thức \(B = {\log _a}\left( {\frac{{{a^2} \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[5]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[4]{a}}}} \right) + {a^{2{{\log }_a}\frac{{\sqrt {105} }}{{30}}}}\).
\(\dfrac{a^2\cdot\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[5]{a^4}}{\sqrt[4]{a}}=\dfrac{a^2\cdot a^{\dfrac{1}{3}}\cdot a^{\dfrac{4}{5}}}{a^{\dfrac{1}{4}}}=\dfrac{a^{\dfrac{47}{15}}}{a^{\dfrac{1}{4}}}=a^{\dfrac{173}{60}}\)
\(\Rightarrow log_a\left(\dfrac{a^2\cdot\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[5]{a^4}}{\sqrt[4]{a}}\right)=log_a\left(a^{\dfrac{173}{60}}\right)=\dfrac{173}{60}\)
\(a^{2log_a\left(\dfrac{\sqrt{105}}{30}\right)}=a^{log_a\left(\dfrac{7}{60}\right)}=\dfrac{7}{60}\)
Vậy \(B=\dfrac{173}{60}+\dfrac{7}{60}=\dfrac{180}{60}=3\)
Đặt \(\log 2 = a,\log 3 = b\). Biểu thị các biểu thức sau theo \(a\) và \(b\).
a) \({\log _4}9\);
b) \({\log _6}12\);
c) \({\log _5}6\).
a: \(log_49=\dfrac{log9}{log4}=\dfrac{log3^2}{log2^2}=\dfrac{2\cdot log3}{2\cdot log2}=\dfrac{log3}{log2}=\dfrac{b}{a}\)
b: \(log_612=\dfrac{log12}{log6}=\dfrac{log2^2+log3}{log2+log3}=\dfrac{2\cdot log2+log3}{log2+log3}\)
\(=\dfrac{2a+b}{a+b}\)
c: \(log_56=\dfrac{log6}{log5}=\dfrac{log\left(2\cdot3\right)}{log\left(\dfrac{10}{2}\right)}=\dfrac{log2+log3}{log10-log2}\)
\(=\dfrac{a+b}{1-a}\)
a: l o g 4 9 = l o g 9 l o g 4 = l o g 3 2 l o g 2 2 = 2 ⋅ l o g 3 2 ⋅ l o g 2 = l o g 3 l o g 2 = b a log 4 9= log4 log9 = log2 2 log3 2 = 2⋅log2 2⋅log3 = log2 log3 = a b b: l o g 6 12 = l o g 12 l o g 6 = l o g 2 2 + l o g 3 l o g 2 + l o g 3 = 2 ⋅ l o g 2 + l o g 3 l o g 2 + l o g 3 log 6 12= log6 log12 = log2+log3 log2 2 +log3 = log2+log3 2⋅log2+log3 = 2 a + b a + b = a+b 2a+b c: l o g 5 6 = l o g 6 l o g 5 = l o g ( 2 ⋅ 3 ) l o g ( 10 2 ) = l o g 2 + l o g 3 l o g 10 − l o g 2 log 5 6= log5 log6 = log( 2 10 ) log(2⋅3) = log10−log2 log2+log3 = a + b 1 − a = 1−a a+b
1) Cho a,b là các số thực dương khác 1 và thoả mãn ab khác 1. Rút gọn biểu thức sau: P=(logab + logba + 2)(logab - logabb).logba - 1
Cho log3a=5 và log3b=\(\frac{2}{3}\). Tính giá trị của biểu thức y=2 log 6[log5(5a)]+\(log_{\frac{1}{9}}b^3\)
Bạn thử tải app này xem có đáp án không nhé <3 https://giaingay.com.vn/downapp.html
Cho đồ thị của hai hàm số \(y = {\log _a}x\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\) và \(y = b\) như Hình 3a (với \(a > 1\)) hay Hình 3b (với \(0 < a < 1\)). Từ đây hãy nhận xét về số nghiệm và công thức nghiệm của phương trình \({\log _a}x = b\).
tham khảo.
Đồ thị của hai hàm số \(y=\log_ax\) và \(y=b\) luôn cắt nhau tại một điểm duy nhất. Khi đó phương trình \(\log_ax=b\) có nghiệm duy nhất \(x=a^b\).
Cho 2 số thực a,b thay đổi, a>1/3, b>1. Khi biểu thức P=log3ab+logb(a⁴-9a²+81) đạt giá trị nhỏ nhất thì a+b bằng:
Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) \(A = {\log _2}3.{\log _3}4.{\log _4}5.{\log _5}6.{\log _6}7.{\log _7}8;\)
b) \(B = {\log _2}2.{\log _2}4...{\log _2}{2^n}.\)
\(a,A=log_23\cdot log_34\cdot log_45\cdot log_56\cdot log_67\cdot log_78\\ =log_28\\ =log_22^3\\ =3\\ b,B=log_22\cdot log_24...log_22^n\\ =log_22\cdot log_22^2...log_22^n\\ =1\cdot2\cdot...\cdot n\\ =n!\)
Hoạt động 4
Cho \(a > 0;a \ne 1;b > 0\), α là một số thực
a) Tính \({a^{{{\log }_a}{b^\alpha }}}\,\,\,và \,\,\,{a^{\alpha {{\log }_a}b}}\)
b) So sánh \({\log _a}{b^\alpha }\,\,\,và \,\,\,\alpha {\log _a}b\)
\(a,a^{log_ab^{\alpha}}=c\Leftrightarrow log_ac=log_ab^{\alpha}\Leftrightarrow c=b^{\alpha}\Rightarrow a^{log_ab^{\alpha}}=b^{\alpha}\\ a^{\alpha log_ab}=c\Leftrightarrow\alpha log_ab=log_ac\Leftrightarrow log_ab^{\alpha}=log_ac\Leftrightarrow b^{\alpha}=c\Rightarrow a^{\alpha log_ab}=b^{\alpha}\\ \Rightarrow a^{log_ab^{\alpha}}=a^{\alpha log_ab}\)
\(b,a^{log_ab^{\alpha}}=a^{\alpha log_ab}\\ \Rightarrow log_ab^{\alpha}=\alpha log_ab\)
Cho a,bc>1.Biết rằng biểu thức P= loga(bc) +logb(ac)+4logc(ab) đạt giá trị nhỏ nhất bằng m khi logbc=n. Tính giá trị m+n
Lời giải:
Đặt \(\left\{\begin{matrix} \log_ab=x\\ \log_bc=y\\ \log_ca=z\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \log_ba=\frac{1}{x}\\ \log_cb=\frac{1}{y}\\ \log_ac=\frac{1}{z}\end{matrix}\right. \). và \(xyz=1\)
Do \(a,b,c>1\Rightarrow x,y,z>0\)
Ta có:
\(P=\log_a(bc)+\log_b(ac)+4\log_c(ab)\)
\(=\log_ab+\log_ac+\log_ba+\log_bc+4\log_ca+4\log_cb\)
\(=x+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+y+4z+\frac{4}{y}\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:
\(\left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{x}\geq 2\sqrt{1}=2\\ y+\frac{4}{y}\geq 2\sqrt{4}=4\\ \frac{1}{z}+4z\geq 2\sqrt{4}=4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow P\geq 2+4+4=10\)
\(\Rightarrow m=10\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x=\frac{1}{x}\rightarrow x=1\\ y=\frac{4}{y}\rightarrow y=2\\ \frac{1}{z}=4z\rightarrow z=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn)
Suy ra \(n=\log_bc=y=2\)
\(\Rightarrow m+n=12\)
Cho biểu thức A=5/2x+1 và B=0,4x - 5
a) tính gt của biểu thức khi x=1/5 và của B khi x=-10
b)tìm x để biểu thức A có gt = 0
c)tìm x để giá trị biểu thức A bằng giá trị biểu thức B
\(A=\frac{5}{2}x+1\) \(B=0,4x-5\)
a) \(A=\frac{5}{2}.\frac{1}{5}+1\) \(B=0,4.\left(-10\right)-5\)
\(A=\frac{1}{2}+1=1\) \(B=-4-5=-9\)
