1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0

<=> sin^2x+ cos^2 x + ( sinx+cosx) + 2.sinx.cosx + ( cos^2 x - sin^2 x)=0

<=> 2 cos^2 x + 2sinx.cosx + sinx + cosx =0

<=> 2cosx ( cos x + sinx) + sinx + cosx = 0

<=> ( cosx + sinx ) (2 cos x + 1 ) = 0

<=> cosx + sinx = 0 hoặc 2cosx + 1 =0

Chọn D

Bảng biến thiên 

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm khi

1: =>sin^2(3x)=0

=>sin 3x=0

=>3x=kpi

=>x=kpi/3

2:

\(sinx=1-cos^2x=sin^2x\)

=>\(sin^2x-sinx=0\)

=>sin x(sin x-1)=0

=>sin x=0 hoặc sin x=1

=>x=pi/2+k2pi hoặc x=kpi

4:

sin 2x+sin x=0

=>sin 2x=-sin x=sin(-x)

=>2x=-x+k2pi hoặc 2x=pi+x+k2pi

=>x=pi+k2pi hoặc x=k2pi/3

5: =>cos(x+pi/3)=1/căn 2

=>x+pi/3=pi/4+k2pi hoặc x+pi/3=-pi/4+k2pi

=>x=-pi/12+k2pi hoặc x=-7/12pi+k2pi

\(\Leftrightarrow\left(1-sinx\right)\left(cos2x+3msinx+sinx-1\right)=m\left(1-sinx\right)\left(1+cosx\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=1\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}\\cos2x+3m.sinx+sinx-1=m\left(1+sinx\right)\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Bài toán thỏa mãn khi (1) có 5 nghiệm khác nhau trên khoảng đã cho thỏa mãn \(sinx\ne1\)

Xét (1):

\(\Leftrightarrow1-2sin^2x+3msinx+sinx-1=m+m.sinx\)

\(\Leftrightarrow2sin^2x-sinx-2m.sinx+m=0\)

\(\Leftrightarrow sinx\left(2sinx-1\right)-m\left(2sinx-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2sinx-1\right)\left(sinx-m\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{6};\dfrac{5\pi}{6}\\sinx=m\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(2\right)\) có 3 nghiệm khác nhau trên \(\left(-\dfrac{\pi}{2};2\pi\right)\)

\(\Leftrightarrow-1< m< 0\)

Phương trình đã cho tương đương với

2 sin 3 x + sin 2 x = 0 ⇔ sin x = 0 sin x = - 1 2

Do điều kiện  sin x < 1 2  nên sinx = 0 nên  x = kπ ; k ∈ ℤ

Đáp án A

\(\Leftrightarrow2^{\cos2x-1}\left(2\cos x-1\right)=2\cos^2x\left(2\cos x-1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(2\cos x-1\right)\left(2^{\cos2x}-2\cos^2x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}\cos x=\frac{1}{2}\\2^{\cos2x}=\cos2x+1\end{array}\right.\)

* Với \(\cos x=\frac{1}{2}\) ta có \(x=\frac{\pi}{3}=k2\pi,k\in Z\)

* Với \(2^{\cos2x}=\cos2x+1\) (*), đặt \(t=\cos2x;t\in\left[-1;1\right]\)

Phương trình trở thành \(2^t-t-1=0\)

Xét hàm số \(f\left(t\right)=2^t-t-1,t\in\left[-1;1\right]\)

Có \(f'\left(t\right)=2^t\ln2-1,t\in\left[-1;1\right];f'\left(t\right)=0\) có đúng 1 nghiệm  nên phương trình \(f\left(t\right)=0\) có tối đa 2 nghiệm. Mà \(f\left(0\right)=f\left(1\right)=0\) nên \(t=0;t=1\) là tất cả các nghiệm của phương trình \(f\left(t\right)=0\)

Do đó phương trình (*) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}\cos2x=0\\\cos2x=1\end{array}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}\\x=k\pi\end{array}\right.\) \(k\in Z\)

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là :

\(x=\frac{\pi}{3}+k2\pi;x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2};x=k\pi;k\in Z\)

1.

\(\Leftrightarrow sin^2x\left(sinx+1\right)-2\left(1-cosx\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(1-cos^2x\right)\left(sinx+1\right)-2\left(1-cosx\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(1-cosx\right)\left(1+cosx\right)\left(sinx+1\right)-2\left(1-cosx\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(1-cosx\right)\left(sinx+cosx+sinx.cosx-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=1\Leftrightarrow...\\sinx+cosx+sinx.cosx-1=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Xét (1):

Đặt \(sinx+cosx=t\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left|t\right|\le\sqrt{2}\\sinx.cosx=\frac{t^2-1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow t+\frac{t^2-1}{2}-1=0\)

\(\Leftrightarrow t^2+2t-3=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\\t=-3\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Leftrightarrow...\)

2.

\(\Leftrightarrow\sqrt{3}sinx.cosx+\sqrt{2}cos^2x+\sqrt{6}cosx=0\)

\(\Leftrightarrow cosx\left(\sqrt{3}sinx+\sqrt{2}cosx+\sqrt{6}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=0\Leftrightarrow...\\\sqrt{3}sinx+\sqrt{2}cosx=-\sqrt{6}\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Xét (1):

Do \(\sqrt{3}^2+\sqrt{2}^2< \left(-\sqrt{6}\right)^2\) nên (1) vô nghiệm

3.

\(\Leftrightarrow4sinx.cosx-\left(1-2sin^2x\right)=7sinx+2cosx-4\)

\(\Leftrightarrow2cosx\left(2sinx-1\right)+2sin^2x-7sinx+3=0\)

\(\Leftrightarrow2cosx\left(2sinx-1\right)+\left(sinx-3\right)\left(2sinx-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2cosx+sinx-3\right)\left(2sinx-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=\frac{1}{2}\Leftrightarrow...\\2cosx+sinx=3\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Xét (1), do \(2^2+1^2< 3^2\) nên (1) vô nghiệm