bạn chép đề bài nhầm ak phải thế này chứ:a²+b² +2≥2(a+b)

trả lời :

BĐT ⇔a²-2a+1+b²-2b+1≥0

⇔(a-1)²+(b-1)²≥0 điều này đúng với mọi a;b

Dấu "=" xảy ra ⇔a=b=1

Vậy BĐT đã được chứng minh

\(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-2\left(a^2+b^2\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-2a^2-2b^2\le0\)

\(\Leftrightarrow-a^2+2ab-b^2\le0\)

\(\Leftrightarrow-\left(a-b\right)^2\le0\) ( dấu "=" xảy ra ⇔ a=b )

Ta có :

\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+1-ab-a-b\ge0\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2-2ab-2a-2b+2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\) ( đúng)

a^2+b^2+2>2(a+b)

<=> a^2+b^2+2> 2a + 2b>0

<=> (a^2 + 2a+1)+2> (b^2+2b+1)

a^2 + b^2 >= ab 
<=> a^2 + b^2 -ab >= 0 
<=> a^2 - ab + (1/4)b^2 + (3/4)b^2 >= 0 
<=> {a - (1/2)b}^2 + (3/4)b^2 >=0 
{a - (1/2)b}^2 luôn >= 0 
(3/4)b^2 luôn >=0 ==> a^2+b^2 luôn >=0

Bài toán của bạn đưa về giải bất đẳng thức 
a^2 + b^2 >= ab 
<=> a^2 + b^2 -ab >= 0 
<=> a^2 - ab + (1/4)b^2 + (3/4)b^2 >= 0 
<=> {a - (1/2)b}^2 + (3/4)b^2 >=0 
{a - (1/2)b}^2 luôn >= 0 
(3/4)b^2 luôn >=0 ==> a^2+b^2 luôn >=0 
* Lưu ý: ab = 2.(1/2).ab 
b^2 = (1/4).b^2 + (3/4).b^2

\(\left(a+b+c\right)^2+a^2+b^2+c^2=\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2\)

VT : (a + b + c)² + a² + b² + c²

= a² + b² + c² + 2ab +2bc + 2ac + a² + b² + c²

= ( a² + 2ab + b² ) + (b² + 2bc + c²) + ( a² + 2ac + c²)

= (a + b)² + (b + c)² + (a + c)² = VP

Vậy \(\left(a+b+c\right)^2+a^2+b^2+c^2=\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2\)(đpcm)

\(VT=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\)

\(=\dfrac{a^2}{ab+ca}+\dfrac{b^2}{ab+bc}+\dfrac{c^2}{ca+bc}\ge\left(Schwarz\right)\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)

Mà theo Cô-si ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a^2\ge2ca\end{matrix}\right.\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\) (hằng đẳng thức)

\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

Đặt b + c = x ; c + a = y ; a + b = z
=> a = (y + z - x) / 2 ; b = (x + z - y) / 2 ; c = (x + y - z) / 2
=> P = a/b+c + b/c+a + c/a+b = (y + z - x) / 2x + (x + z - y) / 2y + (x + y - z) / 2z
= 1/2. (y/x + z/x - 1 + x/y + z/y - 1 + x/z + y/z - 1) = 1/2. (x/y + y/x + x/z + z/x + y/z + z/y - 3)

Áp dụng BĐT A/B + B/A ≥ 0 hoặc Cô-si cũng được
=> P ≥ 1/2. (2 + 2 + 2 - 3) = 3/2 (đpcm)

Dấu = xảy ra <=> x = y = z <=> b+c = c+a = a+b <=> a = b = c

\(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2\ge a^2+b^2+2ab\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2-a^2-b^2-2ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

=>Đpcm

\(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\le2a^2+2b^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-2a^2-2b^2\le0\)

\(\Leftrightarrow-\left(a^2-2ab+b^2\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow-\left(a-b\right)^2\le0\) ( luôn đúng )

dấu " = " xảy ra khi a = b

xoắn:v Bunyakovsky: \(\left(a+b\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2\right)=2\left(a^2+b^2\right)\)