a) Thay điểm \(M(4;6)\)vào phương trình đường tròn \({x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0\)

ta có:

\({4^2} + {6^2} - 2.4 - 4.6 - 20 = 0\)

Suy ra, điểm M thuộc đường tròn (C)

b) Đường tròn có tâm \(I(1;2)\)

Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại \(M(4;6)\) là:

\(\begin{array}{l}\left( {1 - 4} \right)\left( {x - 4} \right) + \left( {2 - 6} \right)\left( {y - 6} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3x + 4y -36 = 0\end{array}\)

c) Tiếp tuyến của đường tròn song song với đường thẳng \(4x + 3y + 2022 = 0\) nên phương trình có dạng \(d:4x + 3y + c = 0\)

Ta có tâm và bán kính của đường tròn là: \(I(1;2),r = \sqrt {{1^2} + {2^2} + 20}  = 5\)

Khoảng cách từ tâm đến tiếp tuyến là bán kính nên: \(d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {4.1 + 3.2 + c} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 5 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 15\\c =  - 35\end{array} \right.\)

Vậy đường tròn (C) có hai tiếp tuyến song song với đường thẳng \(4x + 3y + 2022 = 0\) là \({d_1}:4x + 3y + 15 = 0,{d_2}:4x + 3y - 35 = 0\)

Đáp án D

Đường tròn (C) tâm O(0;0) bán kính R=1

Phương trình đường thẳng IO có dạng: \(y=x\)

Do A;B là giao điểm của 2 đường tròn \(\Rightarrow AB\perp IO\)

Gọi H là trung điểm AB \(\Rightarrow H\in OI\) ; \(AH=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow OH=\sqrt{OA^2-AH^2}=\sqrt{1-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

Do H thuộc OI nên tọa độ có dạng: \(H\left(x;x\right)\Rightarrow OH=\sqrt{x^2+x^2}=\sqrt{2x^2}\)

\(\Rightarrow\sqrt{2x^2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow x=\pm\dfrac{1}{2}\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}H\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)\\H\left(-\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2}\right)\end{matrix}\right.\)

Đường thẳng AB qua H và vuông góc OI nên nhận \(\left(1;1\right)\) là 1 vtpt có dạng:

\(\left[{}\begin{matrix}1\left(x-\dfrac{1}{2}\right)+1\left(y-\dfrac{1}{2}\right)=0\\1\left(x+\dfrac{1}{2}\right)+1\left(y+\dfrac{1}{2}\right)=0\end{matrix}\right.\)  \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y-1=0\\x+y+1=0\end{matrix}\right.\)

Chọn B

B

Đáp án D

(C) có tâm I(1;1)và bán kính  R = 2

Giả sử V 2 O : C → C ' , trong đó (C')có tâm I ' a ; b , bán kính R'

Ta có: a = 2.1 = 2 b = 2.1 = 2 ⇒ I ' 2 ; 2 và  R ' = 2.2 = 4 ⇒ C ' : x − 2 2 + y − 2 2 = 16

Gọi \(M\left(2;y_M\right)\) là tiếp điểm của (C):

\(\Leftrightarrow2^2+y_M^2-12+2y_M=0\)

\(\Leftrightarrow y_M^2+2y_M-8=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y_M=2\\y_M=-4\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}M\left(2;2\right)\\M\left(2;-4\right)\end{matrix}\right.\)

* Với M(2;2)

Ta có: \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{IE}=\left(-1;3\right)\Rightarrow\overrightarrow{n}=\left(3;1\right)\)

\(\Rightarrow\left(D\right):3x+y-8=0\)

* Với M(2; -4)

Ta có: \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{IE}=\left(-1;-3\right)\Rightarrow\overrightarrow{n}=\left(-3;1\right)\)

\(\Rightarrow\left(D\right):-3x+y+4=0\)

a) Để tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn ©, ta cần viết lại phương trình của nó dưới dạng chuẩn:
\begin{align*}
x^2 + y^2 - 2x + 6y - 2 &= 0 \
\Leftrightarrow (x-1)^2 + (y+3)^2 &= 14
\end{align*}
Vậy, tọa độ tâm của đường tròn © là $(1,-3)$ và bán kính của đường tròn © là $\sqrt{14}$.

b) Đường tròn có tâm $I(4,3)$ và đi qua $A(-4,1)$ có phương trình là:
$$(x-4)^2 + (y-3)^2 = (-4-4)^2 + (1-3)^2 = 20$$

c) Để tìm phương trình đường tròn (C') có tâm là $I(4,3)$ và cắt đường thẳng $d: 3x+4y-4=0$ tại hai điểm $M$ và $N$ sao cho $MN=6$, ta có thể làm như sau:

Tìm giao điểm $H$ của đường thẳng $d$ và đường vuông góc với $d$ đi qua $I$.Tìm hai điểm $M$ và $N$ trên đường thẳng $d$ sao cho $HM=HN=3$.Xây dựng đường tròn (C') có tâm là $I$ và bán kính bằng $IN=IM=\sqrt{3^2+4^2}=5$.

Để tìm giao điểm $H$, ta cần tìm phương trình của đường thẳng vuông góc với $d$ đi qua $I$. Đường thẳng đó có phương trình là:
$$4x - 3y - 7 = 0$$
Giao điểm $H$ của đường thẳng này và $d$ có tọa độ là $(\frac{52}{25}, \frac{9}{25})$.

Để tìm hai điểm $M$ và $N$, ta có thể sử dụng công thức khoảng cách giữa điểm và đường thẳng. Khoảng cách từ điểm $H$ đến đường thẳng $d$ là:
$$d(H,d) = \frac{|3\cdot \frac{52}{25} + 4\cdot \frac{9}{25} - 4|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{1}{5}$$
Vậy, hai điểm $M$ và $N$ cách $H$ một khoảng bằng $\frac{3}{5}$ và $\frac{4}{5}$ đơn vị theo hướng vuông góc với $d$. Ta có thể tính được tọa độ của $M$ và $N$ như sau:
$$M = \left(\frac{52}{25} - \frac{4}{5}\cdot 4, \frac{9}{25} + \frac{3}{5}\cdot 3\right) = \left(\frac{12}{25}, \frac{54}{25}\right)$$
và
$$N = \left(\frac{52}{25} + \frac{4}{5}\cdot 4, \frac{9}{25} + \frac{4}{5}\cdot 3\right) = \left(\frac{92}{25}, \frac{27}{5}\right)$$
Cuối cùng, phương trình đường tròn (C') có tâm là $I(4,3)$ và cắt đường thẳng $d$ tại hai điểm $M$ và $N$ sao cho $MN=6$ là:
$$(x-4)^2 + (y-3)^2 = 5^2$$

Tên quen ta :))

a: (C): x^2+y^2-2x+6y-2=0

=>x^2-2x+1+y^2+6y+9-12=0

=>(x-1)^2+(y+3)^2=12

=>I(1;-3);\(R=2\sqrt{3}\)

b: I(1;-3); A(-4;1)

=>\(IA=\sqrt{\left(-4-1\right)^2+\left(1+3\right)^2}=\sqrt{34}\)

(C1): \(\left(x-1\right)^2+\left(y+3\right)^2=34\)