Cho hình chóp SABCD có đáy là một hình bình hành. Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC, SD. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. A’B’ //mp(SAD)
B. A’C’//mp(SBD)
C. mp(A’C’D’)//mp(ABC)
D. A’C’//BD
Cho hình chóp S.ABCD. Một mặt phẳng không đi qua đỉnh nào của hình chóp cắt các cạnh SA,SB,SC,SD lần lượt tại A’,B’,C’,D’. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A. Các đường thẳng A’C’,B’D’,SO đồng quy
B. Hai đường thẳng A’C’ và B’D’ cắt nhau còn hai đường thẳng A’C’ và SO chéo nhau
C. Các đường thẳng A’C’,B’D’,SO đồng phẳng
D. Các đường thẳng A’C’,B’D’,SO đôi một chéo nhau
Đáp án A
Xác định mặt phẳng (A’B’C’D’)
Lấy A’, B’, C’ lần lượt nằm trên SA, SB, SC
⇒ D’ thuộc mặt phẳng (A’B’C’)
Gọi O = AC ∩ BD
Trong (SAC) có: I = SO ∩ A ' C '
Trong (SBD) có: B ' I ∩ SD = D '
Từ cách dựng mặt phẳng (A’B’C’D’) ta thấy: SO, A’C’, B’D’ đồng quy tại I
Ta có: OF là đường trung bình tam giác SAC
\(\Rightarrow OF//SA\Rightarrow OF//\left(SAD\right)\)
OE là đường trung bình tam giác SBD
\(\Rightarrow OE//SD\Rightarrow OE//\left(SAD\right)\)
\(\Rightarrow\left(OEF\right)//\left(SAD\right)\)
Cho hình chóp có đáy ABCD la hình thang đáy lớn là CD. M là trung điểm của SA, N là giao
điểm của cạnh SB và mp(MCD). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng ?
A. MN và SD cắt nhau B. MN // CD
C. MN và SC cắt nhau D. MN và CD chéo nhau
giải thích các bước
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn SB, SD. Lấy điểm P trên cạnh SC sao cho SP = 3SC. Tìm giao tuyến của mp ( MNP ) với các mp (SAC), (SAB), (SAD), (ABCD)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy. Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của A lên SC; SD. Dựng KN // CD, với N ∈ SC. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Góc giữa hai mặt phẳng (SAC); (SAD) là góc HAK.
B. Góc giữa hai mặt phẳng (SCD); (SAD) là góc AKN.
C. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC); (ABCD) là góc BSA.
D. Góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là góc SCB.
Cho hình chóp SABCD có đáy hình thang abcd với ab là đáy lớn AB=2CD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SC
a, Tìm giao tuyến của 2 mp (SAD) và ( SBC)
b, Tìm giao điểm I của đường thẳng SD với mp ( AMN)
c, Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng ( AMN)
d, TÍnh tỉ số \(\dfrac{SI}{SD}\)
Kéo dài AD và BC cắt nhau tại E
\(\Rightarrow SE=\left(SAD\right)\cap\left(SBC\right)\)
Trong mp (SBC), nối MN kéo dài cắt SE tại F
Trong mp (SAD), nối AF cắt SD tại I
\(\Rightarrow I=SD\cap\left(AMN\right)\)
Tứ giác AINM chính là thiết diện của (AMN) và chóp
MN là đường trung bình tam giác SCD \(\Rightarrow F\) là trung điểm SE
Mặt khác CD song song và bằng 1/2 AB \(\Rightarrow\) CD là đường trung bình tam giác ABE hay D là trung điểm AE
\(\Rightarrow\) I là trọng tâm tam giác SAE
\(\Rightarrow\dfrac{SI}{SD}=\dfrac{2}{3}\)
Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thoi cạnh 3a,SA=SD=3a, SB=SC=\(3a\sqrt{3}\) . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và SD, P là điểm thuộc cạnh AB sao cho AP=2a. Tinh diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mp (MNP)
Lời giải:
Gọi $Q$ là điểm nằm trên $DC$ sao cho $AD\parallel PQ$
Khi đó: $MN\parallel AD\parallel PQ$ nên $Q\in (MNP)$
$(MNPQ)$ chính là thiết diện của hình chóp cắt bởi $(MNP)$
Giờ ta cần tìm diện tích hình thang $MNPQ$
$SA=SD; DB=SC; AB=CD$ nên $\triangle SAB=\triangle SDC$
Tương ứng ta có $MP=NQ$
$MN=\frac{AD}{2}=\frac{3a}{2}$
$PQ=AD=3a$
$\Rightarrow MNPQ$ là hình thang cân.
Áp dụng định lý cos:
$\cos \widehat{SAB}=\frac{SA^2+AB^2-SB^2}{2SA.AB}=\frac{MA^2+AP^2-MP^2}{2MA.AP}$
$\Leftrightarrow \frac{9a^2+9a^2-27a^2}{2.3a.3a}=\frac{\frac{9}{4}a^2+4a^2-MP^2}{2.\frac{3}{2}a.2a}$
$\Rightarrow MP^2=\frac{37}{4}a^2$
$\Rightarrow h_{MNPQ}=\sqrt{MP^2-(\frac{PQ-MN}{2})^2}=\frac{\sqrt{139}}{4}a$
Diện tích thiết diện:
$S=\frac{MN+PQ}{2}.h=\frac{9\sqrt{139}}{16}a^2$
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại C, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB và SB. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai?
A. C H ⊥ S B
B. C H ⊥ A K
C. A K ⊥ B C
D. H K ⊥ H C
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB và SAD. E, F lần lượt là trung điểm của AB và AD. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. IJ // (SBD)
B. IJ // (SEF)
C. IJ // (SAB)
D. IJ // (SAD)
Đáp án A
Tam giác SAB có I là trọng tâm và E là trung điểm của AB
Nên ta có S I S E = 2 3 (1)
Tam giác SAD có J là trọng tâm và F là trung điểm của AD
Nên ta có S J S F = 2 3 (2)
Từ (1) và (2) ta có: IJ // EF (3) (định lý Ta-lét trong tam giác SEF)
Tam giác ABD có EF là đường trung bình nên EF // BD (4)
Từ (3) và (4) suy ra IJ // BD
Mà BD (SBD)
Do đó IJ // (SBD).