*** $a,b,c>0$ thôi chứ không lớn hơn $1$ bạn nhé. $a,b,c>1$ thì $abc>1$ mất rồi.

-----------------------

Vì $a, b, c>0$ thỏa mãn $abc=1$ nên tồn tại $x,y,z>0$ sao cho:

$(a,b,c)=(\frac{x^2}{yz}, \frac{y^2}{xz}, \frac{z^2}{xy})$
Khi đó, áp dụng BĐT Cauchy_Schwarz:
$P=\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2xz}+\frac{z^2}{z^2+2xy}$

$\geq \frac{(x+y+z)^2}{x^2+2yz+y^2+2xz+z^2+2xy}=\frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2}=1$

Vậy $P_{\min}=1$ khi $x=y=z\Leftrightarrow a=b=c=1$

\(P=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\)

\(=\dfrac{a+b+c}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{c+a}+\dfrac{a+b+c}{a+b}-3\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b}\right)-3\ge\dfrac{9}{2}-3=\dfrac{3}{2}\)

\(minP=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{2021}{3}\)

Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm ta được :

\(a+b\ge2\sqrt[2]{ab}\)

\(b+c\ge2\sqrt[2]{bc}\)

\(c+a\ge2\sqrt[2]{ca}\)

Nhân theo vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được :

\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\left(2\sqrt[2]{ab}\right)\left(2\sqrt[2]{bc}\right)\left(2\sqrt[2]{ca}\right)\)

\(< =>B\ge8\sqrt[2]{a^3b^3c^3}=8abc\)

Mặt khác theo giả thiết ta có : \(abc=8\)

Khi đó \(B\ge8.8=64\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=2\)

Vậy \(Min_B=64\)khi \(a=b=c=2\)

sửa lại cho mình  dòng 7 trong căn là mũ 2 nhé , đánh lộn 

áp dụng BĐT Bu-nhi-a ta có: 

\(\left(a+b+c+d\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right).\)

<=>\(2^2\le4\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\)

<=>\(\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\ge1\)

=> GTNN của a^2 +b^2 +c^2 +d^2 là 1 <=> a=b=c=d=1/2

\(\Leftrightarrow M=\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{ca}{b^2\left(c+â\right)}+\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}\)

áp dụng bđt cauchy ta có:

\(\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{b+c}{4bc}\ge\frac{1}{a}\);\(\frac{ca}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{c+a}{4ca}\ge\frac{1}{b}\);\(\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}+\frac{a+b}{4ab}\ge\frac{1}{c}\)

\(\Rightarrow M\ge\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{8abc}}=\frac{3}{2}\)

P=abc/(2bc+c^2)+abc/(2ac+a^2)+abc/(2ab+b^2)

P=1/(2bc+c^2)+1/(2ac+a^2)+1/(2ab+b^2)

áp dụng BĐT cô-si swat ta có 

P>=(1+1+1)^2/(a+b+c^2)=9/(a+b+c)^2>=9/((3 căn bậc 3 abc)^2=9/9=1 

dấu = xảy ra khi a=b=c=1 

Huy Nguyễn Đức ngược dấu r

Với abc=1 ta đặt \(a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}\left(x,y,z>0\right)\)

Khi đó \(P=\frac{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}}{2.\frac{y}{z}+\frac{z}{x}}+...\)

<=> \(P=\frac{x^2}{2yx+z^2}+\frac{y^2}{2yz+x^2}+\frac{z^2}{2xz+y^2}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2zy+2xz}=1\)(BĐT cosi schawr)

=> \(MinP=1\) khi a=b=c=1

Ta có \(\frac{1}{abc}=a+b+c\)

<=> \(a\left(a+b+c\right)=\frac{1}{bc}\)

\(P=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)

  \(=a\left(a+b+c\right)+bc\)

  \(=\frac{1}{bc}+bc\ge2\)

Dấu bằng xảy ra khi \(bc=1\)và a thỏa mãn \(a+b+\frac{1}{b}=\frac{1}{a}\)