a) Ta có: OA = OB (= bán kính đường tròn (O))

O’A = O’B (= bán kính đường tròn (O’))

⇒ OO’ là đường trung trực của AB

b) Hình 86a) Hai đường tròn tiếp xúc ngoài thì A nằm giữa O và O’

Hình 86b) Hai đường tròn tiếp xúc trong thì A nằm ngoài đoạn OO’

Xét tam giác BCD có BD = CD ( giả thiết )

\( \Rightarrow \) D thuộc trung trực BC do cách đều 2 đầu mút đoạn BC

Mà AM là trung trực của BC

\( \Rightarrow \) D thuộc đường thẳng AM

\( \Rightarrow \) A, M, D thẳng hàng

Xét tam giác ABD và tam giác ACD có :

AB = AC ( giả thiết )

BD = CD ( giả thiết )

AD cạnh chung

\( \Rightarrow \Delta ABD =\Delta ACD (c-c-c)\)

\( \Rightarrow \)\(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\)( 2 góc tương ứng )

Xét tam giác ABM và ta giác ACM có :

AB = AC ( giả thiết )

AM cạnh chung

\(\widehat {BAD} = \widehat {CAD}\)( chứng minh trên )

\(\Delta ABM=\Delta ACM (c-g-c)\)

\(\Rightarrow MC = MB\) ( 2 cạnh tương ứng )

\( \Rightarrow \) M là trung điểm BC

Để chứng minh rằng EO là đường trung trực của AB trong hình thang cân ABCD, ta cần sử dụng một số kiến thức về hình học và các định lý liên quan.

Đầu tiên, do hình thang ABCD là hình thang cân, ta có AB // CD. Điều này có nghĩa là tam giác ABE và CDE là hai tam giác đồng dạng (có các cặp góc tương đồng và các cặp cạnh tương tỉ).

Tiếp theo, ta biết rằng đường chéo AC của hình thang cân là đường trung tuyến, có nghĩa là nó chia đôi đường chéo BD. Do đó, ta có AO = OC và BO = OD.

Giả sử EO không phải là đường trung trực của AB. Khi đó, ta có hai trường hợp xảy ra:

Trường hợp 1: EO nằm bên trong tam giác ABE. Trong trường hợp này, ta có EO cắt AB tại một điểm F. Vì tam giác ABE và CDE đồng dạng, nên ta cũng có EF // CD. Tuy nhiên, điều này mâu thuẫn với giả thiết AB // CD. Vậy trường hợp này không xảy ra.

Trường hợp 2: EO nằm bên ngoài tam giác ABE. Trong trường hợp này, ta có EO cắt AB tại một điểm F. Vì tam giác ABE và CDE đồng dạng, nên ta cũng có EF // CD. Tuy nhiên, điều này cũng mâu thuẫn với giả thiết AB // CD. Vậy trường hợp này cũng không xảy ra.

Vì hai trường hợp trên không xảy ra, ta kết luận rằng EO phải là đường trung trực của AB trong hình thang cân ABCD.

Hy vọng rằng giải thích trên đã giúp bạn hiểu và chứng minh được rằng EO là đường trung trực của AB trong hình thang cân ABCD.

Xét ΔABD và ΔBAC có

AB chung

BD=AC

AD=BC

=>ΔABD=ΔBAC
=>góc OAB=góc OBA

=>OA=OB

Xét ΔEDC có AB//DC

nên EA/AD=EB/BC

mà AD=BC

nên EA=EB

mà OA=OB

nên EO là trung trực của AB

Để chứng minh rằng EO là đường trung trực của AB trong hình thang cân ABCD, chúng ta có thể sử dụng các điều kiện và tính chất của hình thang cân.

Vì hình thang ABCD là hình thang cân, nên ta có ab//cd và AD = BC.

Điều này cho phép chúng ta sử dụng các tính chất của các tam giác đồng dạng để chứng minh EO là đường trung trực của AB.

Ta có thể chứng minh rằng tam giác AEO và tam giác BEO đồng dạng bằng cách sử dụng góc và cạnh tương đồng.

Từ ab//cd, ta có: ∠AEO = ∠BEO (góc đối) ∠EAO = ∠EBO (góc đối)

Vì AD = BC, ta có: AE/BE = AD/BC = AO/BO (điều này được gọi là tỉ số phân giác)

Từ đó, ta có thể kết luận rằng tam giác AEO và tam giác BEO đồng dạng (góc và cạnh tương đồng).

Do đó, theo tính chất của các tam giác đồng dạng, ta biết rằng EO là đường trung trực của AB.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng EO là đường trung trực của AB trong hình thang cân ABCD.

Xét ΔABD và ΔBAC có

AB chung

BD=AC

AD=BC

=>ΔABD=ΔBAC
=>góc OAB=góc OBA

=>OA=OB

Xét ΔEDC có AB//DC

nên EA/AD=EB/BC

mà AD=BC

nên EA=EB

mà OA=OB

nên EO là trung trực của AB

1. 

+) Tứ giác ABCD kà hình thang cân => góc ADC = BCD và AD = BC

=> tam giác ODC cân tại O => OD = OC  

 mà AD = BC => OA = OB

+) tam giác ODB và OCA có: OD = OC; góc DOC chung ; OB = OA 

=> Tam giác ODB = OCA (c - g - c)

=> góc ODB = OCA mà góc ODC = OCD => góc ODC - ODB = OCD - OCA

=> góc EDC = ECD => tam giác EDC cân tại E => ED = EC (2)

Từ (1)(2) => OE là đường  trung trực của CD

=> OE vuông góc CD mà CD // AB => OE vuông góc với AB

Tam giác OAB cân tại O có OE là đường cao nên đồng thời là đường  trung trực

vậy OE là đường trung trực của AB

a) Xét ΔADE vuông tại E và ΔBCF vuông tại F có 

AD=BC(ABCD là hình thang cân)

\(\widehat{ADE}=\widehat{BCF}\)(ABCD là hình thang cân)

Do đó: ΔADE=ΔBCF(Cạnh huyền-góc nhọn)

Suy ra: DE=CF(Hai cạnh tương ứng)

b) Xét ΔADB và ΔBCA có 

AD=BC(ABCD là hình thang cân)

AB chung

DB=CA(ABCD là hình thang cân)

Do đó: ΔADB=ΔBCA(c-c-c)

Suy ra: \(\widehat{DBA}=\widehat{CAB}\)(hai góc tương ứng)

hay \(\widehat{IAB}=\widehat{IBA}\)

Xét ΔIAB có \(\widehat{IAB}=\widehat{IBA}\)(cmt)

nên ΔIAB cân tại I(Định lí đảo của tam giác cân)

Suy ra: IA=IB

c) Ta có: \(\widehat{OAB}=\widehat{ODC}\)(hai góc đồng vị, AB//CD)

\(\widehat{OBA}=\widehat{OCD}\)(hai góc đồng vị, AB//CD)

mà \(\widehat{ODC}=\widehat{OCD}\)(ABCD là hình thang cân)

nên \(\widehat{OAB}=\widehat{OBA}\)

Xét ΔOAB có \(\widehat{OAB}=\widehat{OBA}\)(cmt)

nên ΔOAB cân tại O(Định lí đảo của tam giác cân)

Suy ra: OA=OB

Ta có: OA+AD=OD(A nằm giữa O và D)

OB+BC=OC(B nằm giữa O và C)

mà OA=OB(cmt)

và AD=BC(ABCD là hình thang cân)

nên OD=OC

Ta có: IA+IC=AC(I nằm giữa A và C)

IB+ID=BD(I nằm giữa B và D)

mà IA=IB(cmt)

và AC=BD(cmt)

nên IC=ID

Ta có: OA=OB(cmt)

nên O nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: IA=IB(cmt)

nên I nằm trên đường trung trực của AB(2)

Ta có: OD=OC(cmt)

nên O nằm trên đường trung trực của DC(3)

Ta có: ID=IC(cmt)

nên I nằm trên đường trung trực của DC(4)

Từ (1) và (2) suy ra OI là đường trung trực của AB

Từ (3) và (4) suy ra OI là đường trung trực của DC