Cho \(x\ne-1;y\ne-1\)

Giả sử: \(x+y+xy=-1\)

<=>\(x+xy+y+1=0\)

<=>\(\left(x+xy\right)+\left(y+1\right)=0\)

<=>\(x\left(y+1\right)+\left(y+1\right)=0\)

<=>\(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=0\)

<=>\(\orbr{\begin{cases}x+1=0\\y+1=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-1\\y=-1\end{cases}}}\)(Trái với điều giả thiết)

=>\(x+y+xy\ne-1\)

Giả sử $x+y+xy=-1$.

$\Rightarrow x+y+xy+1=0\iff (x+1)(y+1)=0$

<=> \(\left[{}\begin{matrix}x+1=0\\y+1=0\end{matrix}\right.\)

<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=-1\\y=-1\end{matrix}\right.\) ( mâu thuẫn với giả thiết)

Vậy nếu x ≠ -1 và y ≠ -1 thì x = y + xy ≠ -1

Giả sử x + y + xy = -1

⇒x+y+xy+1=0  ⇔ x(1+y)+(y+1)=0

⇔(y+1)(x+1)=0⇔\(\left[{}\begin{matrix}x+1=0\\y+1=0\end{matrix}\right.\)⇔\(\left[{}\begin{matrix}x=-1\\y=-1\end{matrix}\right.\)(mâu thuẫn)

vậy nếu x≠ -1 và y≠ -1 thì x+y=xy≠ -1

giả sử : \(x+y+xy=-1\) \(\Rightarrow x+y+xy+1=0\)

\(\Rightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)=0\rightarrow x+1=0\) hoặc \(y+1=0\)

\(\Rightarrow x=-1\) hoặc \(y=-1\) ( trái giả thiết )

vậy nếu \(x\ne-1\) và \(y\ne-1\) thì \(x+y+xy\ne-1\)

Giải:

Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x\ne-1\\y\ne-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y\ne-2\\xy\ne1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x+y+xy\ne-2+1\)

\(\Leftrightarrow x+y+xy\ne-1\)

Vậy ...

\(VT=\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{x^2+y^2}{x^2y^2}=\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x^2y^2}\)

\(VT=\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{\left(x-y\right)^2}{x^2y^2}+\dfrac{2}{xy}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(x-y\right)^2}{\left(x-y\right)^2x^2y^2}}+\dfrac{2}{xy}=\dfrac{2}{\left|xy\right|}+\dfrac{2}{xy}\ge\dfrac{2}{xy}+\dfrac{2}{xy}=\dfrac{4}{xy}\)

1: \(A=\dfrac{x-2\sqrt{xy}+y}{x-y}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}=\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\)

2: Thay \(x=3+2\sqrt{2}\) và \(y=3-2\sqrt{2}\) vào A, ta được:

\(A=\dfrac{\sqrt{2}+1-\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1}=\dfrac{2}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

thằng ngu lê anh tú ko biết gì thì im vào

Đặt \(\hept{\begin{cases}S=x+y\\P=xy\end{cases}}\)\(\Rightarrow x^2+y^2=S^2-2P\)

Ta cần chứng minh \(S^2-2P+\left(\frac{P+1}{S}\right)^2\ge2\)

\(\Leftrightarrow S^2-2\left(P+1\right)+\left(\frac{P+1}{S}\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow S^2-\frac{2S\left(P+1\right)}{S}+\left(\frac{P+1}{S}\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(S-\frac{P+1}{S}\right)^2\ge0\) *luôn đúng*

Đề sai. a=0;b=0,1 ko đúng, sửa lại đề đi bn

ko biết còn tinh vi ggwp  =]]

Đặt \(z=-\frac{1+xy}{x+y}\)ta có \(xy+yz+zx=-1\)và bất đẳng thức đã cho trở thành:

\(x^2+y^2+z^2\ge2\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge-2\left(xy+yz+zx\right)\)\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge0\)( luôn đúng )

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.

Mình giải thế này có đúng ko?

tich cho minh nha

Đặt \(z=-\frac{1+xy}{x+y}\). Ta có: xy + yz + zx = -1 và bất đẳng thức đã cho trở thành:

\(x^2+y^2+z^2\ge2\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge-2\left(xy+yz+zx\right)\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge0\)