a: Xét (O) có

ΔBFC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBFC vuông tại F

Xét (O) có

ΔBEC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBEC vuông tại E

Xét ΔABC có

BE,CF là đường cao

BE cắt CF tại H

Do đó: AH vuông góc với BC tại D

b:

Xét tứ giác CDFA có góc CDA=góc CFA=90 độ

nên CDFA là tứ giác nội tiếp

=>góc BFD=góc BCA

Xét tứ giác BFEC có góc BFC=góc BEC=90 độ

nên BFEC là tứ giác nội tiếp

=>góc AFE=góc ACB

Ta có: góc COE=180 độ-2 góc C

góc EFD=180 độ-góc AFE-góc BFD

=180 độ-2 góc C

=>góc COE=góc EFD

=>DOEF là tứ giác nội tiếp

a: Xét (O) có

ΔBFC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBFC vuông tại F

Xét (O) có

ΔBEC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBEC vuông tại E

Xét ΔABC có

BE,CF là đường cao

BE cắt CF tại H

Do đó: AH vuông góc với BC tại D

b:

Xét tứ giác CDFA có góc CDA=góc CFA=90 độ

nên CDFA là tứ giác nội tiếp

=>góc BFD=góc BCA

Xét tứ giác BFEC có góc BFC=góc BEC=90 độ

nên BFEC là tứ giác nội tiếp

=>góc AFE=góc ACB

Ta có: góc COE=180 độ-2 góc C

góc EFD=180 độ-góc AFE-góc BFD

=180 độ-2 góc C

=>góc COE=góc EFD

=>DOEF là tứ giác nội tiếp

a: Xét (O) có 

ΔBDC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBDC vuông tại D

Xét (O) có

ΔBEC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBEC vuông tại E

Xét ΔABC có 

BE là đường cao

CF là đường cao

BE cắt CF tại H

Do đó: AH⊥BC

hay AF⊥BC

a) Ta có: Đường tròn (O) đường kính BC và 2 điểm D;E nằm trên (O)

=> ^BEC=^BDC=90⁰ => BD vuông AC; CE vuông AB

Mà BD gặp CE tại H => H là trực tâm \(\Delta\)ABC

=> AH vuông BC (tại F) hay AF vuông BC (đpcm).

b) Thấy: \(\Delta\)ADH vuông đỉnh D, M là trg điểm AH

=> \(\Delta\)DMA cân đỉnh M => ^MDA=^MAD (1).

Tương tự: \(\Delta\)DOC cân đỉnh O => ^ODC=^OCD (2).

(1) + (2) => ^MAD+^ODC = ^MDA+^ODC = ^MAD+^OCD

Mà 2 góc ^MAD; ^OCD phụ nhau (Do \(\Delta\)AFC vuông đỉnh F)

=> ^MDA+^ODC=90⁰ => ^MDO=90⁰ => MD vuông OD

Lập luận tương tự: ME vuông OE => Tứ giác MEOD có ^MEO=^MDO=90⁰

=> MEOD là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính OM

Xét tứ giác MFOD: ^MFO=^MDO=90⁰ => Tứ giác MFOD nội tiếp đường tròn đường kính MO.

Do đó: 5 điểm M;D;O;E;F cùng thuộc 1 đường tròn đường kính OM (đpcm).

c) Dễ c/m \(\Delta\)EBF ~ \(\Delta\)CDF (c.g.c) => ^EFB=^CFD

=> 90⁰ - ^EFB = 90⁰ - ^CFD => ^EFA=^DFA hay ^EFM=^MFD

Xét tứ giác FEMD: Nội tiếp đường tròn => ^EFM=^KDM => ^MFD=^KDM

=> \(\Delta\)MKD ~ \(\Delta\)MDF (g.g) => \(\frac{MD}{MF}=\frac{MK}{MD}\Rightarrow MD^2=MK.MF\)(đpcm).

Gọi I là giao điểm BK và MC.

Dễ thấy: \(\Delta\)FEK ~ FMD (g.g) => \(\frac{FE}{FM}=\frac{FK}{FD}\Rightarrow FE.FD=FM.FK\)

Hoàn toàn c/m được: \(\Delta\)EFB ~ \(\Delta\)CFD (c.g.c) => \(\frac{FE}{FC}=\frac{BF}{FD}\Rightarrow FE.FD=BF.FC\)

Từ đó suy ra: \(FM.FK=BF.FC\)\(\Rightarrow\frac{BF}{FM}=\frac{FK}{FC}\)

\(\Rightarrow\Delta\)BFK ~ \(\Delta\)MFC (c.g.c) => ^FBK=^FMC . Mà ^FMC+^FCM=90⁰

=> ^FBK+^FCM = 90⁰ hay ^FBI+^FCI=90⁰ => \(\Delta\)BIC vuông đỉnh I

=> BK vuông với MC tại điểm I.

Xét \(\Delta\)MBC: BK vuông MC (cmt); MK vuông BC (tại F) => K là trực tâm \(\Delta\)MBC (đpcm).

d) Thấy ngay: EH là phân giác trong của \(\Delta\)FEK. Mà EA vuông EH

=> EA là phân giác ngoài tại đỉnh E của \(\Delta\)FEK

Theo ĐL đường phân giác trg tam giác: \(\frac{KH}{FH}=\frac{AK}{AF}\)

\(\Leftrightarrow1+\frac{KH}{FH}=1+\frac{AK}{AF}\Rightarrow\frac{FK}{FH}=\frac{AK+AF}{AF}\Leftrightarrow\frac{FK}{FH}=\frac{FK+2AK}{AF}\)

\(\Leftrightarrow\frac{FK}{FH}=\frac{FK}{AF}+\frac{2AK}{AF}\Leftrightarrow\frac{FK}{AF}=\frac{FK}{FH}-\frac{2AK}{AF}\)

\(\Leftrightarrow\frac{FK}{AF}+\frac{FK}{FH}=\frac{2FK}{FH}-\frac{2AK}{AF}=2+\frac{2KH}{FH}-2+\frac{2KF}{AF}=\frac{2KH}{FH}+\frac{2KF}{AF}\)

\(\Rightarrow FK\left(\frac{1}{AF}+\frac{1}{FH}\right)=\frac{2KH}{FH}+\frac{2KF}{AF}\)

Đến đây, lại thay: \(\frac{KH}{FH}=\frac{AK}{AF}\)(T/c đg phân giác)

\(\Rightarrow FK\left(\frac{1}{AF}+\frac{1}{FH}\right)=\frac{2\left(AK+KF\right)}{AF}=\frac{2AF}{AF}=2\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{AF}+\frac{1}{FH}=\frac{2}{FK}.\)(đpcm). 

d.

Xét△FBH và △FAC có BFH=AFC=90*,FBH=FAC(cùng phụ BCD)

=>△FBH∼ △FAC(g.g) =>FH.FA=FB.FC .

Xét△FBK và △FMC có BFK=MFC=90*, FBK=FMC

=>△FBK ∼ △FMC(g.g)=>FK.FM=FB.FC .

=>FH.FA=FK.FM

Mà FH+FA=FM-MH+FM+MA=2FM

Ta có 2FH.FA=2FK.FM=>2FH.FA=FK(FH+FA)=>KL

giúp mik với các bạn

a: Xét (O) có

ΔBFC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBFC vuông tại F

=>CF vuông góc AB

Xét (O) có

ΔBEC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBEC vuông tại E

=>BE vuông góc AC

Xét ΔABC có

BE,CF là đường cao

BE cắt CF tại H

Do đó: H là trực tâm

=>AH vuông góc BC tại D

b: Xét tứ giác AFHE có

góc AFH+góc AEH=90+90=180 độ

=>AFHE nội tiếp đường tròn đường kính AH

I là trung điẻm của AH

c:

Xét tứ giác BFHD có

góc BFH+góc BDH=180 độ

=>BFHD nội tiếp

=>góc DFH=góc DBH=góc EBC

góc IFD=góc IFH+góc DFH

=góc IHF+góc EBC

=góc DHC+góc EBC

=90 độ-góc FCB+góc EBC

=90 độ

=>IF là tiếp tuyến của (O)

Xét ΔIFD và ΔIED có

IF=IE

FD=ED

ID chung

=>ΔIFD=ΔIED

=>góc IED=góc IFD=90 độ

=>IE là tiếp tuyến của (O)

Xét (O) có

ΔBDC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBDC vuông tại D

=>CD\(\perp\)DB tại D

=>CD\(\perp\)AB tại D

Xét (O) có

ΔBEC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBEC vuông tại E

=>BE\(\perp\)EC tại E

=>BE\(\perp\)AC tại E

Xét ΔABC có

BE,CD là đường cao

BE cắt CD tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH\(\perp\)BC

trời ơi rối quá , ai biết làm thì làm đi 

a) Xét tứ giác BFEC: ^BFC=^BEC=90⁰ => Tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp đường tròn (đpcm).

b) Dễ thấy tứ giác ABKC nội tiếp đường tròn (O) => ^CAK=^CBK hay ^CAN=^CBK (1)

AK là đường kính của (O); B nằm trên (O) => AB\(\perp\)BK

Mà CF\(\perp\)AB => BK//CF => ^CBK=^BCF (2)

(1); (2) => ^CAN=^BCF. Mà ^BCF=^CAH (Cùng phụ ^ABC) => ^CAN=^BAH hay ^CAN=^FAM

Lại có: ^ACN=^AHE (Cùng phụ ^HAC) 

Dễ chứng minh tứ giác AFHE nội tiếp đường tròn => ^AHE=^AFE

=> ^ACN=^AFE. Hay ^ACN=^AFM

Xét \(\Delta\)AMF và \(\Delta\)ANC: ^ACN=^AFM; ^CAN=^FAM => \(\Delta\)AMF ~ \(\Delta\)ANC (g.g)

=> \(\frac{AM}{AN}=\frac{MF}{NC}\)(*)

=> ^AMF=^ANC => 180⁰ - ^AMF=180⁰ - ^ANC => ^FMH=^CNK

Tứ giác ABKC nội tiếp (O) => ^ABC=^AKC. Mà ^ABC=^AHF (Cùng phụ ^BAH)

=> ^AKC=^AHF hay ^NKC=^MHF.

Xét \(\Delta\)NCK và \(\Delta\)MFH: ^NKC=^MHF; ^CNK=^FMH => \(\Delta\)NKC ~ \(\Delta\)MFH (g.g)

=> \(\frac{HM}{NK}=\frac{FM}{NC}\)(**)

Từ (*) và (**) => \(\frac{AM}{AN}=\frac{HM}{NK}\Rightarrow\frac{AM}{HM}=\frac{AN}{NK}\)=> MN//HK (Định lí Thales đảo) (đpcm).

c: Theo câu b, ta được: H là tâm đường tròn ngoại tiếp ngũ giác DEKFO

OH vuông góc MN

=>MN là đường kính của (H)

=>HM=HN