a) Kẻ đường trung trực của đoạn thẳng BC, cắt BC tại D

Ta có: Tam giác ABC cân nên AB = AC

\( \Rightarrow A\)thuộc đường trung trực của cạnh BC (t/c)

\( \Rightarrow AD\)là đường trung trực của BC.

Xét \(\Delta ABD\)và \(\Delta ACD\)có:

AB = AC (gt)

BD = CD (gt)

AD: cạnh chung

\( \Rightarrow \Delta ABD = \Delta ACD\left( {c - c - c} \right)\)

\( \Rightarrow \widehat {BAD} = \widehat {CAD}\)

\( \Rightarrow \)AD là tia phân giác góc BAC.

Vậy tam giác ABC cân tại A, đường trung trực của cạnh BC là đường cao và cũng là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác đó.

b)

Ta có: Điểm cách đều ba đỉnh của tam giác là giao điểm ba đường trung trực của tam giác đó.

Tam giác ABC đều nên AB = BC = CA

Tam giác ABC cân tại A có AN là đường trung tuyến

\( \Rightarrow \) AN là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A (cm ở ý a)

Tương tự: BP, CM lần lượt là đường phân giác xuất phát từ B và C của tam giác ABC

Mà AN cắt BP tại G

\( \Rightarrow G\) là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABC

\( \Rightarrow G\) cách đều ba cạnh của tam giác ABC (Tính chất

Tam giác có trọng tâm đồng thời là trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm (nằm trong tam giác) cách đều ba cạnh là tam giác đều.

đường phân giác

ba đường phân giác

tham khảo

đường phân giác

Gọi IH, IK, IL lần lượt là khoảng cách từ I đến EF, DF, DE.

Theo đề bài, điểm I cách đều ba cạnh của ΔDEF ⇒ IH = IK = IL

IL = IK ⇒ I cách đều hai cạnh của góc D ⇒ I nằm trên đường phân giác của góc D.

IH = IK ⇒ I cách đều hai cạnh của góc F ⇒ I nằm trên đường phân giác của góc F.

IH = IL ⇒ I cách đều hai cạnh của góc E ⇒ I nằm trên đường phân giác của góc E.

Từ 3 điều trên suy ra I là điểm chung của ba đường phân giác của tam giác DEF.

Kẻ IA⊥ED tại A, IB⊥EF tại B, IC⊥DF tại C

Vì I cách đều ba cạnh nên IA=IB=IC

Xét ΔIAE vuông tại A và ΔIBE vuông tại B có 

IE chung

IA=IB(cmt)

Do đó: ΔIAE=ΔIBE(Cạnh huyền-cạnh góc vuông)

Suy ra: \(\widehat{AEI}=\widehat{BEI}\)(hai góc tương ứng)

\(\Leftrightarrow\widehat{DEI}=\widehat{FEI}\)

hay EI là tia phân giác của \(\widehat{DEF}\)(1)

Xét ΔICF vuông tại C và ΔIBF vuông tại B có 

IF chung

IC=IB(cmt)

Do đó: ΔICF=ΔIBF(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

Suy ra: \(\widehat{BFI}=\widehat{CFI}\)(hai góc tương ứng)

\(\Leftrightarrow\widehat{EFI}=\widehat{DFI}\)

hay FI là tia phân giác của \(\widehat{EFD}\)(2)

Xét ΔDAI vuông tại A và ΔDCI vuông tại C có 

DI chung

IA=IC(cmt)

Do đó: ΔDAI=ΔDCI(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

Suy ra: \(\widehat{ADI}=\widehat{CDI}\)(hai góc tương ứng)

\(\Leftrightarrow\widehat{EDI}=\widehat{FDI}\)

hay DI là tia phân giác của \(\widehat{EDF}\)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra I là điểm chung của ba đường phân giác trong của ΔDEF(Đpcm)

Hướng dẫn:

I nằm trong ∆DEF và cách đều ba cạnh của tam giác nên I lần lượt thuộc phân giác của các góc , ,

Vậy I là điểm chung của ba đường phân giác của tam giác DEF

I nằm trong ∆DEF và cách đều ba cạnh của tam giác nên I lần lượt thuộc phân giác của các góc $\hat{D}$, $\hat{E}$, $\hat{F}$

Vậy I là điểm chung của ba đường phân giác của tam giác DEF

Từ điểm I ta kẻ IA ⊥ DE; IB ⊥ EF và IC ⊥ DF

- Vì điểm I cách đều hai cạnh DE và DF nên I nằm trên đường phân giác của góc EDF (định lí 2 - định lí đảo của tia phân giác)

Tương tự ta suy ra điểm I nằm trên tia phân giác của góc DEF và góc EFD.

Vậy I là điểm chung của ba đường phân giác của tam giác DEF.

Chọn C