\(x^2-\left(m+1\right)x+m+4=0\left(1\right)\)

\(\Rightarrow\Delta>0\Leftrightarrow\left(m+1\right)^2-4\left(m+4\right)>0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m< -3\\m>5\end{matrix}\right.\)\(\left(2\right)\)

\(ddkt-thỏa:\sqrt{x1}+\sqrt{x2}=2\sqrt{3}\)

\(x1=0\Rightarrow\left(1\right)\Leftrightarrow m=-4\Rightarrow\left(1\right)\Leftrightarrow x^2+3x=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x1=0\\x2=-3< 0\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

\(x1\ne0\) \(\Rightarrow0< x1< x2\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x1+x2>0\\x1x2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+1>0\\m+4>0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow m>-1\)\(\left(3\right)\)

\(\left(2\right)\left(3\right)\Rightarrow m>5\)

\(\Rightarrow\sqrt{x1}+\sqrt{x2}=2\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow x1+x2+2\sqrt{x1x2}=12\Leftrightarrow m+1+2\sqrt{m+4}=12\)

\(\Leftrightarrow m+4+2\sqrt{m+4}-15=0\)

\(đặt:\sqrt{m+4}=t>5\Rightarrow t^2+2t-15=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=-5\left(ktm\right)\\t=3\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m\in\phi\)

Để pt có 2 nghiệm pb 

\(\left(m+1\right)^2-4\left(m+4\right)=m^2+2m+1-4m-16\)

\(=m^2-2m-15>0\)

Theo Vi et \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m+1\\x_1x_2=m+4\end{matrix}\right.\)

Ta có : \(\left(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\right)^2=12\Leftrightarrow x_1+2\sqrt{x_1x_2}+x_2=12\)

Thay vào ta được \(m+1+2\sqrt{m+4}=12\Leftrightarrow2\sqrt{m+4}=11-m\)đk : m >= -4 

\(\Leftrightarrow4\left(m+4\right)=121-22m+m^2\Leftrightarrow m^2-26m+105=0\)

\(\Leftrightarrow m=21\left(ktm\right);m=5\left(ktm\right)\)

Ptr có: `a+b+c=1-2m+2+2m-3=0`

   `=>[(x=1),(x=c/a=2m-3):}`

`@TH1: x_1=1;x_2=2m-3`

  `=>\sqrt{1}=2\sqrt{2m-3}`

`<=>\sqrt{2m-3}=1/2`

`<=>2m-3=1/4`

`<=>m=13/8`

`@TH2:x_1=2m-3;x_2=1`

  `=>\sqrt{2m-3}=2\sqrt{1}`

`<=>2m-3=4`

`<=>m=7/2`

còn cái nịt

pt. 2 mghiemej pb

`<=>Delta>0`

`<=>(m+2)^2-4(3m-6)>0`

`<=>m^2+4m+4-12m+24>0`

`<=>m^2-8m+28>0`

`<=>(m-4)^2+8>0` luôn đúng

Áp dụng vi-ét ta có:`x_1+x_2=m+2,x_1.x_2=-3m-6`

`đk:x_1,x_2>=0=>x_1+x_2,x_1.x_2>=0`

`=>m+2>=0,3m-6>=0`

`<=>m>=2`

`pt<=>x_1+x_2+2sqrt(x_1.x_2)=4`

`<=>m+2+2sqrt{3m-6}=4`

`<=>3m+6+6sqrt(3m-6)=12`

`<=>3m-6+6sqrt(3m-6)=0`

`<=>3m-6=0`

`<=>m=2(tmđk)`

Vậy m=2

a:

\(\text{Δ}=\left(m-1\right)^2-4\left(-2m-1\right)\)

\(=m^2-2m+1+8m+4=m^2+6m+5\)

Để (1) vô nghiệm thì (m+1)(m+5)<0

hay -5<m<-1

Để (1) có nghiệm thì (m+1)(m+5)>=0

=>m>=-1 hoặc m<=-5 

Để (1) có hai nghiệm phân biệt thì (m+1)(m+5)>0

=>m>-1 hoặc m<-5

b: Để (1) có hai nghiệm phân biệt cùng dương thì

\(\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m>-1\\m< -5\end{matrix}\right.\\m>1\\m< -\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\in\varnothing\)

c. Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m-1\\x_1x_2=-2m-1\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2+x_2^2=3\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=3\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2+2\left(2m+1\right)=3\)

\(\Leftrightarrow m^2+2m=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=-2\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Delta=\left(2m+1\right)^2-4\left(m^2-1\right)=4m+1+4=4m+5\)

Để pt có 2 nghiệm pb m > -5/4 

Theo Vi et \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2m-1\left(1\right)\\x_1x_2=m^2-1\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=x_1-5x_2\)

\(\Leftrightarrow4m^2+4m+1-4m^2+4=x_1-5x_2\)

\(\Leftrightarrow x_1-5x_2=4m+5\)(3) 

Từ (1) ; (3) ta có hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2m-1\\x_1-5x_2=4m+5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6x_2=-6m-6\\x_1=-2m-1-x_2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=-m-1\\x_1=-2m-1+m+1=-m\end{matrix}\right.\)

Thay vào (2) ta được \(-m\left(-m-1\right)=m^2-1\)

\(\Leftrightarrow m^2+m=m^2-1\Leftrightarrow m=-1\)(tmđk) 

x 2  - (m + 1)x + m – 2 = 0 (1)

a) Δ = m + 1 2  - 4(m – 2) = m 2  + 2m + 1 – 4m + 8

=  m 2  - 2m + 9 = m - 1 2  + 8 > 0 với mọi m.

Vậy với mọi m thuộc R, thì phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt x 1  và  x 2

Ta có: \(\Delta=4m^2+4m-11\)

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow4m^2+4m-11>0\)

Theo Vi-ét, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+3\\x_1x_2=2m+5\end{matrix}\right.\)

Để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4m^2+4m-11>0\\2m+3>0\\2m+5>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m< \dfrac{-1-2\sqrt{3}}{2}\\m>\dfrac{-1+2\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.\\m>-\dfrac{3}{2}\\m>-\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow m>\dfrac{-1+2\sqrt{3}}{2}\)

 Mặt khác: \(\dfrac{1}{\sqrt{x_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{x_2}}=\dfrac{4}{3}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}}{x_1x_2}=\dfrac{16}{9}\) \(\Rightarrow\dfrac{2m+3+2\sqrt{2m+5}}{2m+5}=\dfrac{16}{9}\)

\(\Rightarrow18m+27+18\sqrt{2m+5}=32m+80\)

\(\Leftrightarrow14m-53=18\sqrt{2m+5}\)

\(\Rightarrow\) ...

giúp mình với ạ ! Mình cảm ơn ạ